高中几何：巧用“单位圆”求三角函数，非常重要！（建议收藏）

在高中数学几何中，“巧用单位圆求三角函数”是非常重要的一个知识点！您的孩子掌握了吗？

近期有好几位学生都在咨询关于这方面的问题，今天我就做一个详细的讲解，希望可以帮助各位同学在暑期做好查漏补缺！

单位圆就是半径为1的圆，因此它在解决一些数学题目是有着特殊的作用，例如求三角函数值、证明三角公式、解复数问题，若能巧用单位圆的话，可以比较简捷、直观的获得问题的答案。

下面我看看如何巧用单位圆求解三角函数值，题目如下图所示，已知三个角正余弦之和，求证三角函数值恒等问题。

例题：

分析观察问题，已知三个与A成倍数的角的正弦函数值的和为a，以及其余弦值的和b，即已知：sinA+sin3A+sin5A=a：cosA+cos3A+cos5A=b，

由于[cos(nA)]^2+[sin(nA)]^2=1,我们可以把上述三角函数值组成三组数对，也就是在单位圆上的三个点A(cosA,sinA)、B(coa3A,sin3A)、C(cos5A,sin5A)。

由于已知三点横纵坐标之和，我们很容易联想到已知三角形三顶点，可求出该三角形的重心，下图是将例题的已知条件变形为重心坐标公式的形式。

在单位圆上做出A、B、C三点，数形结合，巧用单位圆，使该问题十分直观，简捷明了，也是我们避免了许多复杂的运算，是问题得到正确无误的解答，单位圆图如下图所示：

∠POA=A；∠POB=3A；∠POC=5A，∠AOB=∠POB-∠POA=2A；∠BOC=∠POC-∠POB=2A，

所以：∠AOB=∠BOC，根据相等圆心角对应的弦相等，可知AB=BC,

所以三角形ABC是等腰三角形，延长OB交AC于一点D，

则知三角形的重心一定在OB上，而且∠POB=3A，即∠POG

所以tan3A=Gy/Gx=(a/3)/(b/3)=a/b

具体证明如下图所示：

注意：单位圆巧在1这个关系

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