妙 用 图 形 解 题

优化学生的思维品质

 

    充分运用几何图形的性质解题，是数学中的一种常用方法，也是部养学生从形象思维过渡到抽象思维的重要途径。如何巧妙地运用这一方法，发挥几何图形的形象直观、简洁、明快、构图优美等特有的功能，提高学生机智、敏捷、创造性地思考、分析和解决问题的能力，增强对数学学习的兴趣，这里仅从课本中的例题和习题出发，结合教学淡点初浅认识。

一、妙拼补

    初中数学中不少几何题的结论直接运用题设去推导往往难以奏效，若将其基本图形进行适当的拼补，构成一组美丽而巧妙的图案，其解答就在图中直接或间接地显示出来。

例1              在△ABC中，三边长为a，b，c，

（1） 
若∠A=60°时，则

（2）  若∠A=120°时，则

    简析  此题亦可直接证明，按上述图形的拼接和面积的割补的方法，根据条件，将已知图形巧妙地拼补，构成新的图形，证明也就在其中。由∠A=60°易知，∠B+∠C=120°，由120°是正六边形的一个内角，能否将△ABC拼成一个正六边形？同理由∠A=120°，可知∠A+∠C=60°能否将这样的一个三角形拼成一个正三角形？通过剪拼结论成立。

（1）若∠A=60°时∠B+∠C=120°，于是用6个已知的这样

                    

                  图1

的三角按图1拼成一个美丽的六边形花环，外廓是以a为边长的正六边形（证略），里面是以 (b-c)(b＞c)为边长的小正六边形。

则有6S_△ABC=S_{外正六边形} - S_{内正六边形}

 

 

 

                             

    （2）若∠A=120°时，则∠B+∠C=60°，于是用三个这样的三角形按图2拼成一个三角形的花环，其外廓是以a为边长的正三角形（证略）里面是以(b-c)为边长(b＞c)的正三角形。

则有3S_△ABC=S_{外正三角形} - S_{内正三角形}

 

   

例2（weisenbocck不等式），已知△ABC中，a,b,c为三边，S为面积。  求证a²+b²+c²≥４

Ｓ.（1961年第三届国际中学生竞赛题）

简析  这个不等式证法甚多，但初中生所学的知识是难以证明的。若引导学生观察结论不难得出：

· ·a²+b²+c²≥Ｓ， 亦即：

（ a²+ b²+  c²）≥Ｓ，

这与以a、b、c为边长的三个正边行面积有关，即是以△ABC三边长为三个正方形面积之和的 。正三角形面积的 与其重心有关，因此，将三角形三边拼补三个正三角形，证明就是显而易见了。

证明    分别以△ABC三边AB、BC、AC向外作正三角形ABD₁，BCD₂，ACD₃，其重心分别为G₁，G₂，G₃在△ABC中取点O，使∠AOB=∠BOC=∠AOC=120 ^o（见图3）。

∵△ABG₁和△AOB共底边AB，用顶角都为120 ^o，而△ABG₁是等腰三边形。

∴S_△ABG1≥Ｓ_△AOB，同理S_△BCG2≥Ｓ_△BOC，S_△ACG3≥Ｓ_△AOC，而S_△ABC=Ｓ_△AOB+Ｓ_△BOC+Ｓ_△AOC≤S_△ABG1+ S_△BCG2+ S_△ACG3= （ a²+ b²+  c²）= （a²+b²+c²）。

即a²+b²+c²≥ S_△ABC=4 S_△ABC.

 

二、巧分割

妙拼补能使某些几何结论化隐为显，但将某些几何图形恰当地割分、割补是这一解题思想的重要补充和完善。有些图的面积关系直接难以寻求时，若打破常规，将图形巧妙地分割，能使你在百思不得其解中茅塞顿开。初中几何课本作了精心的安排，这里仅就第一册P205中30题的图形来谈一谈。

例3     过三角形重心任作一直线，把这个三角形分成两部分，求证：这两部分面积之差不大于此三角形面积的 （1978年安徽省数学竞赛题）

          

简析  欲证的结论与△ABC面积的 有关，怎样剖分一个三角形才将其面积9等分呢？这就是几何一册P205中30题给出的答案，将△ABC三边分别三等分，过这些分点，依次作三边的平行线，在形内交点正好是△ABC的重心G，分出9个全等的三角形，再过G做任一直线，把需求证的结论转化成在一个小三角形中比较即可。

   证明   将△ABC三边分别三等分，如图4，顺次连接各分点，在形内交于一点G，G即为此△ABC的重心，易证9个小三角形全等。

若过G的直线是DF，FM，EN中任一条，两部分面积之差正好是一个小三角形，即

S_△ABC.

若过G任作一直线，交AB与P，交AC与Q，交KE于H，易知△KHG≌  △MQG，故有四边形AKEC被HQ割分后两部分相等，只需比较△KPH和四边形PBEH的大小即可。

而S_{四边形PBEH.} －S_△PKH＜S_△KBE= S_△ABC.

 

 

所以，过△ABC重心的直线把这个三角形分成两部分面积之差不大于此三角形面积的.

    用此方法还可证明1984年全国数学竞赛的一道题，证法显得极为直观简捷.

    题目  P为△ABC的BC边上的任一点，过P点分别作PE∥AB，PF∥AC，S_△ABC=1，求证：△BPF，△PCE，四边形AFPE的面积中，至少有一个不小于

这里给出图形分割的情况，留给读者去完成证明的过程。（如图5）

二、精构造

    用拼补和分割的方法证某些几何题，不仅使过程简单明了，更令人惊叹的是用图形说话，严密、清楚、打破常规、别具一格，思路新颖，给人以美的享受。而精心构造几何图形解某些代数题，形象直观，易懂易记，更不乏其例.

初中代数第二册“多项式乘法”（P.53）和“完全平方公式”（P.67）就是构造了一个正方形用面积直观地描述了这些代数运算的几何意义.

这里略举几例，以资说明

例4        已知正数a，b，c，m，n，p，满足a+m=b+n=c+p=k ，求证an+bp+cm＜k²（21届全苏奥赛题）

    简析  由a+m=b+n=c+p=k不难想到，能否构造一个正方形边长为k，则面积为k²，在正方形中，分别构出以a，n，b，p和c，m为长和宽的小矩形，其面积关系就明于图中

证明  因为a+m=b+n=c+p=k

所以，构造一个正方形ABCD，使边长为k（如图6）故an+bp+cm＜k²

此题还可构造正三角形证明 

例5              已知a≥c，b≥c，c≥0为实数，求证

≤      

 

 

 

 

 简析  用代数方法证此不等式，演算复杂，若构造一个几何图形，用面积比较，不仅直观易懂，而且简单，不等式左边为：                       

              猜想：能否构造一个以           和           为上下底，又以       为直角腰的直角梯形，用面积关系求解？，事实上，也是显而易见的

解：如图7，在长度为    的线段BC上作两个三角形，       Rt△ABE和 Rt△DCE，E为BC的中点， 

 

 

连AD.

 

 

 

 

由于0<sin∠AED≤1，所以

 

 

当sin∠AED=1，∠AED=90°时等号成立。

构造图形解题，是构造法的一种，在解题教学中经常用到，只要抓住问题所给条件的几何意义，就不难构造出合理的图形，使要求证的结论在图形中直接或间接地得到显示，比如，a＞0，b＞0，则可用线段描述，    可用正方形的对角形来实现，ab可用长方形面积，a²，b²可用正方形面积实现等等。

总之，利用图形的拼补、分割、构造等方法解题，有时确实使人感到耳目一新，不可多得，它是培养学生独立思考，敢于创新的一种较好的方法，使学生思维在不落俗套，别具一格的创造性活动中得到发展。

               （原载湖北大学《中学教学》1992年5期）