斐波那契—卢卡斯数列与广义斐波那契数列
斐波那契—卢卡斯数列
卢卡斯数列1、3、4、7、11、18…,也具有斐波那契数列同样的性质。(我们可称之为斐波那契—卢卡斯递推:从第三项开始,每一项都等于前两项之和f(n) = f(n-1) + f(n-2))。 这两个数列还有一种特殊的联系(如下表所示),F(n)*L(n)=F(2n),及L(n)=F(n-1)+F(n+1) n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
斐波那契数列F(n) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 …
卢卡斯数列L(n) 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 …
F(n)*L(n) 1 3 8 21 55 144 377 987 2584 6765 …
类似的数列还有无限多个,我们称之为斐波那契—卢卡斯数列。 如1,4,5,9,14,23…,因为1,4开头,可记作F[1,4],斐波那契数列就是F[1,1],卢卡斯数列就是F[1,3],斐波那契—卢卡斯数列就是F[a,b]。
斐波那契—卢卡斯数列之间的广泛联系
①任意两个或两个以上斐波那契—卢卡斯数列之和或差仍然是斐波那契—卢卡斯数列。 如:F[1,4]n+F[1,3]n=F[2,7]n,?F[1,4]n-F[1,3]n=F[0,1]n=F[1,1](n-1), ?n 1? ?2 ?3 4? 5? 6 7 8 9 10 …
F[1,4]n 1 4 5 9 14 23 37 60 97 157 …
F[1,3]n 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 …
F[1,4]n-F[1,3]n 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 …
F[1,4]n+F[1,3]n ?2 ?7 9? ?16 ?25 ?41 ?66 ?107 ?173 ?280 …?
②任何一个斐波那契—卢卡斯数列都可以由斐波那契数列的有限项之和获得,如 ?n 1? ?2 ?3 4? 5? 6 7 8 9 10 …
F[1,1](n) 1 1 2 3 5 8 13 31 34 55 …
F[1,1](n-1) 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 …
F[1,1](n-1) 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 …
F[1,3]n 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 …
黄金特征与孪生斐波那契—卢卡斯数列
斐波那契—卢卡斯数列的另一个共同性质:中间项的平方数与前后两项之积的差的绝对值是一个恒值, 斐波那契数列:|1*1-1*2|=|2*2-1*3|=|3*3-2*5|=|5*5-3*8|=|8*8-5*13|=…=1 卢卡斯数列:|3*3-1*4|=|4*4-3*7|=…=5 F[1,4]数列:|4*4-1*5|=11 F[2,5]数列:|5*5-2*7|=11 F[2,7]数列:|7*7-2*9|=31 斐波那契数列这个值是1最小,也就是前后项之比接近黄金比例最快,我们称为黄金特征,黄金特征1的数列只有斐波那契数列,是独生数列。卢卡斯数列的黄金特征是5,也是独生数列。前两项互质的独生数列只有斐波那契数列和卢卡斯数列这两个数列。 而F[1,4]与F[2,5]的黄金特征都是11,是孪生数列。F[2,7]也有孪生数列:F[3,8]。其他前两项互质的斐波那契—卢卡斯数列都是孪生数列,称为孪生斐波那契—卢卡斯数列。
广义斐波那契数列
斐波那契数列的黄金特征1,还让我们联想到佩儿数列:1,2,5,12,29,…,也有|2*2-1*5|=|5*5-2*12|=…=1(该类数列的这种特征值称为勾股特征)。 佩尔数列Pn的递推规则:P1=1,P2=2,Pn=P(n-2)+2P(n-1). 据此类推到所有根据前两项导出第三项的通用规则:f(n) = f(n-1) * p + f(n-2) * q,称为广义斐波那契数列。 当p=1,q=1时,我们得到斐波那契—卢卡斯数列。 当p=1,q=2时,我们得到佩尔—勾股弦数(跟边长为整数的直角三角形有关的数列集合)。 当p=-1,q=2时,我们得到等差数列。其中f1=1,f2=2时,我们得到自然数列1,2,3,4…。自然数列的特征就是每个数的平方与前后两数之积的差为1(等差数列的这种差值称为自然特征)。 具有类似黄金特征、勾股特征、自然特征的广义斐波那契数列p=±1。 当f1=1,f2=2,p=2,q=1时,我们得到等比数列1,2,4,8,16……
编辑本段斐波那契数列与黄金比
1÷1=1,2÷1=2,3÷2=1.5,5÷3=1.666...,8÷5=1.6,…………,89÷55=1.6181818…,…………233÷144=1.618055…75025÷46368=1.6180339889…...
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