基变换与坐标变换

1. 过渡矩阵与基变换

设 x1,x2,…,xn$x_1,x_2,\dots ,x_n$ 是 Vn$V^n$ 的一组旧基，y1,y2,…,yn$y_1,y_2,\dots ,y_n$ 为其新基，则由基的定义可知：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪y1=c11x1+c22x2+…+cn1xny2=c12x1+c22x2+…+cn2xn⋮yn=c1nx1+c2nx2+…+cnnxn$$\{\begin{array}{l}{y}_1=c_{11}{x}_1+c_{22}{x}_2+\dots +c_{n1}{x}_n\\ y_2=c_{12}{x}_1+c_{22}{x}_2+\dots +c_{n2}{x}_n\\ ⋮\\ y_n=c_{1n}{x}_1+c_{2n}{x}_2+\dots +c_{nn}{x}_n\end{array}$$

当然也可以写成矩阵的形式：

(y1,y2,…,yn)=(x1,x2,…,xn)C$$\left(y_1,y_2,\dots ,y_n\right)=\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right)C$$

矩阵 C$C$ 称为过渡矩阵，可以证明的是，过渡矩阵是非奇异矩阵。

2. 坐标变换

设 x∈Vn$x\in V^n$ 在上面所述旧（xi$x_i$）新（yi$y_i$）两基下的坐标分别是 (λ1,λ2,…,λn)T$({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n{)}^T$ 和 (η1,η2,…,ηn)$\left({\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_n\right)$，所以有：

x=λ1x1+λ2x2+…+λnxn=η1y1+η2y2+…+ηnyn$$x={\lambda }_1{x}_1+{\lambda }_2{x}_2+\dots +{\lambda }_n{x}_n={\eta }_1{y}_1+{\eta }_2{y}_2+\dots +{\eta }_n{y}_n$$

写成矩阵形式即为：

x=(x1,x2,…,xn)⎡⎣⎢⎢⎢⎢λ1λ2⋮λn⎤⎦⎥⎥⎥⎥=(y1,y2,…,yn)⎡⎣⎢⎢⎢⎢η1η2⋮ηn⎤⎦⎥⎥⎥⎥$$x=\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right)\left[\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ {\lambda }_2\\ ⋮\\ {\lambda }_n\end{array}\right]=\left(y_1,y_2,\dots ,y_n\right)\left[\begin{array}{c}{\eta }_1\\ {\eta }_2\\ ⋮\\ {\eta }_n\end{array}\right]$$

又由基变换 (yi)=(xi)C$\left(y_i\right)=\left(x_i\right)C$ 可知：

x=(x1,x2,…,xn)⎡⎣⎢⎢⎢⎢λ1λ2⋮λn⎤⎦⎥⎥⎥⎥=(y1,y2,…,yn)⎡⎣⎢⎢⎢⎢η1η2⋮ηn⎤⎦⎥⎥⎥⎥=(x1,x2,…,xn)C⎡⎣⎢⎢⎢⎢η1η2⋮ηn⎤⎦⎥⎥⎥⎥   $$x=\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right)\left[\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ {\lambda }_2\\ ⋮\\ {\lambda }_n\end{array}\right]=\left(y_1,y_2,\dots ,y_n\right)\left[\begin{array}{c}{\eta }_1\\ {\eta }_2\\ ⋮\\ {\eta }_n\end{array}\right]=\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right)C\left[\begin{array}{c}{\eta }_1\\ {\eta }_2\\ ⋮\\ {\eta }_n\end{array}\right]$$

所以可得：

⎡⎣⎢⎢⎢⎢λ1λ2⋮λn⎤⎦⎥⎥⎥⎥=C⎡⎣⎢⎢⎢⎢η1η2⋮ηn⎤⎦⎥⎥⎥⎥$$\left[\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ {\lambda }_2\\ ⋮\\ {\lambda }_n\end{array}\right]=C\left[\begin{array}{c}{\eta }_1\\ {\eta }_2\\ ⋮\\ {\eta }_n\end{array}\right]$$

λi${\lambda }_i$ 为旧基下的坐标，ηi${\eta }_i$ 则为新基下的坐标。