平面几何相关 由调和四边形引出的一点点调和性质

先声明这篇文章和ACM本身并没有多大关系= =

考虑上图这样一个基本构形，其中AB,AC是圆O的切线，A,P,Q三点共线，

利用相似容易证明PB/QB=PC/QC，称这样的四边形PBQC为“调和四边形”，

连接BC交APQ于D，得到下图，

那么有

AP/DP=(AC*sin∠ACP)/(DC*sin∠DCP)，

AQ/DQ=(AC*sin∠ACQ)/(DC*sin∠DCQ)，

注意到

sin∠ACP/sin∠DCP=sin∠CQP/sin∠BCP=PC/PB，

sin∠ACQ/sin∠DCQ=sin∠CBQ/sin∠BCQ=QC/QB，

由先前得到的结论可知PC/PB=QC/QB，

于是AP/DP=AQ/DQ，称这样的点列A,P,D,Q为“调和点列”，

调和点列是个神奇的东西= =

对于调和点列A,P,D,Q和直线AD外任意一点S，

称直线束SA,SP,SD,SQ为“调和线束”，

一个经典结论是，

如果SA,SP,SD,SQ为调和线束，

则任意一条直线l截这个线束得到的四个点A',P',D',Q'为调和点列，

证明只需用到正弦定理，比较简单，故此处略(liu)去(keng)，

这个结论充分体现了调和点列于调和线束的对偶关系，

另一个关于调和点列的经典结论是，

对于调和点列A,P,D,Q和直线AD外任意一点S，

如果SA⊥SD，那么SD是∠PSQ的内角平分线，SA是外角平分线，

证明仍然只需用到正弦定理，比较简单，故此(ji)处(xu)略(liu)去(keng)，

同时可以发现，使得SP/SQ是不为1的定值的曲线是以AD为直径的一个圆，

称这个圆为“阿波罗尼斯(Apollonius)圆”，

那么ACM大概能用到的调和性质暂时就这么多了，以后遇到就再说吧……