如何理解主元分析（PCA）？

主元分析也就是PCA，主要用于数据降维。

1 什么是降维？

比如说有如下的房价数据：

这种一维数据可以直接放在实数轴上：

不过数据还需要处理下，假设房价样本用

表示，那么均值为：

然后以均值

为原点：

以

为原点的意思是，以

为0，那么上述表格的数字就需要修改下：

这个过程称为“中心化”。“中心化”处理的原因是，这些数字后继会参与统计运算，比如求样本方差，中间就包含了

：

说明下，虽然样本方差的分母是应该为n-1，这里分母采用

是因为这样算出来的样本方差

为一致估计量，不会太影响计算结果并且可以减小运算负担。

用“中心化”的数据就可以直接算出“房价”的样本方差：

“中心化”之后可以看出数据大概可以分为两类：

现在新采集了房屋的面积，可以看出两者完全正相关，有一列其实是多余的：

求出房屋样本、面积样本的均值，分别对房屋样本、面积样本进行“中心化”后得到：

房价（

）和面积（

）的样本协方差是这样的（这里也是用的一致估计量）：

可见“中心化”后的数据可以简化上面这个公式，这点后面还会看到具体应用。

把这个二维数据画在坐标轴上，横纵坐标分别为“房价”、“面积”，可以看出它们排列为一条直线：

如果旋转坐标系，让横坐标和这条直线重合：

旋转后的坐标系，横纵坐标不再代表“房价”、“面积”了，而是两者的混合（术语是线性组合），这里把它们称作“主元1”、“主元2”，坐标值很容易用勾股定理计算出来，比如

在“主元1”的坐标值为：

很显然

在“主元2”上的坐标为0，把所有的房间换算到新的坐标系上：

因为“主元2”全都为0，完全是多余的，我们只需要“主元1”就够了，这样就又把数据降为了一维，而且没有丢失任何信息：

2 非理想情况如何降维？

上面是比较极端的情况，就是房价和面积完全正比，所以二维数据会在一条直线上。

现实中虽然正比，但总会有些出入：

把这个二维数据画在坐标轴上，横纵坐标分别为“房价”、“面积”，虽然数据看起来很接近一条直线，但是终究不在一条直线上：

那么应该怎么降维呢？分析一下，从线性代数的角度来看，二维坐标系总有各自的标准正交基（也就是两两正交、模长为1的基），

：

在某坐标系有一个点，

，它表示在该坐标系下标准正交基

的线性组合：

只是在不同坐标系中，

的值会有所不同（旋转的坐标表示不同的坐标系）：

因为

到原点的距离

不会因为坐标系改变而改变：

而：

所以，在某坐标系下分配给

较多，那么分配给

的就必然较少，反之亦然。最极端的情况是，在某个坐标系下，全部分配给了

，使得

：

那么在这个坐标系中，就可以降维了，去掉

并不会丢失信息：

如果是两个点

，情况就复杂一些：

为了降维，应该选择尽量多分配给

，少分配给

的坐标系。

3 主元分析（PCA）

怎么做呢？假设有如下数据：

上面的数据这么解读，表示有两个点：

这两个点在初始坐标系下（也就是自然基

）下坐标值为：

图示如下：

随着坐标系的不同，

的值会不断变化：

要想尽量多分配给

，借鉴最小二乘法（请参考如何理解最小二乘法）的思想，就是让：

要求这个问题，先看看

怎么表示，假设：

根据点积的几何意义（如何通俗地理解协方差和点积）有：

那么：

上式其实是一个二次型（可以参看如何通俗地理解二次型）：

这里矩阵

就是二次型，是一个对称矩阵，可以进行如下的奇异值分解（可以参看如何通俗地理解奇异值分解）：

其中，

为正交矩阵，即

。

而

是对角矩阵：

其中，

是奇异值，

。

将

代回去：

因为

是正交矩阵，所以令：

所得的

也是单位向量，即：

继续回代：

最初求最大值的问题就转化为了：

感兴趣可以用拉格朗日乘子法计算上述条件极值（参看如何通俗地理解拉格朗日乘子法以及KKT条件），结果是当

时取到极值。

因此可以推出要寻找的主元1，即：

总结下：

同样的思路可以求出：

4 协方差矩阵

上一节的数据：

我们按行来解读，得到了两个向量

：

在这个基础上推出了矩阵：

这个矩阵是求解主元1、主元2的关键。

如果我们按列来解读，可以得到两个向量

：

即：

那么刚才求出来的矩阵就可以表示为：

之前说过“中心化”后的样本方差（关于样本方差、协方差可以参看这篇文章：如何通俗地理解协方差和点积）：

样本协方差为：

两相比较可以得到一个新的矩阵，也就是协方差矩阵：

都可以进行奇异值分解：

可见，协方差矩阵

的奇异值分解和

相差无几，只是奇异值缩小了

倍，但是不妨碍奇异值之间的大小关系，所以在实际问题中，往往都是直接分解协方差矩阵

。

5 实战

回到使用之前“中心化”了的数据：

这些数据按行，在自然基下画出来就是：

按列解读得到两个向量：

组成协方差矩阵：

进行奇异值分解：

根据之前的分析，主元1应该匹配最大奇异值对应的奇异向量，主元2匹配最小奇异值对应的奇异向量，即：

以这两个为主元画出来的坐标系就是这样的：

如下算出新坐标，比如对于

：

以此类推，得到新的数据表：

主元2整体来看，数值很小，丢掉损失的信息也非常少，这样就实现了非理想情况下的降维。