重积分计算练习（一）

在直角坐标系下计算二重积分，一般就是画出积分区域，判定积分区域的型：x-型、y-型、复杂型（要划分），然后将二重积分转化为二次积分。

当被积函数或积分区域具有一定特点时，比如被积函数是关于y/x,x与y的平方和，积分区域为圆形区域或圆形区域的一部分等，通常采用极坐标进行二重积分的计算。

交换积分次序在重积分计算里是典型题目，“无交换不二重”就可以体现其重要性，我们也曾推送“无交换不二重”主题的内容，此外，以往的内容中也有不少交换积分次序的题目。

二重反常积分与一元函数反常积分的思想类似，如无界区域上的二重反常积分可以看作有界区域上二重积分的极限，而无界函数的二重积分可看成正常二重积分化成累次积分，只不过某个积分限是∞，求出原函数在着点的值是趋于无穷大时的极限。下面题目画出积分区域，选择y-型区域计算方便。

下面这道反常积分通过二重反常积分进行了计算，在同济版高数教材上也有这道题的计算过程，很经典。另外要注意这一结果在概率论与数理统计中经常用到，记住这一结果。

三重积分计算在直角坐标系下通常有“穿针法”、“截面法”。，下面这道题在直角坐标系下就运用了“截面法”，第二种方法使用了柱面坐标，其实，大家还可以利用球面坐标来计算。