几何图形的最值问题，综合程度较高，有几何图形性质的使用，也在计算模型上考虑到代数基本不等式的使用。既有图形模型的选取，又有代数运算，这样的几何最值类型，在中学应用数学上还是很有研究的价值。在动态变化中找到基本模型，体现出动静相宜的趣味点，还需我们多去发现。

如图，在三角形ABC中，角BAC=45度，M是BC边的中点，AM=2，求三角形ABC面积的最大值。

看到所给条件，就知道三角形的顶点B、C是在相应的边上可以移动的，这就是三角形面积的最值产生的根本。在变化中如何办呢？由BC边上的中线，延长AM并取相等，构造基本辅助线，转化下三角形的构成。

三角形面积的计算公式很多，在本题显然想到的是两边与夹角正弦乘积的一半这个公式，简洁明了，很好上手。这样三角形ABC的面积最值问题，就转化为求两边AB、AC乘积的最值了，接着再由基本不等式，两个正数x、y乘积的最大值就是当x=y时取得。

延长AM到E点，并使得ME=AM，再连接BE，这样三角形ABC的面积就等价转化后ABE的面积，由于三角形ACM与三角形EBM不难证出全等。也可证出BE与AC平行，从而知道角ABE是135度，这样三角形ABE的面积计算，就只要考虑AB与BE的乘积了。

再由基本不等式，考虑当AB与BE相等时，作出相应的图形，余弦定理也好，或构造直角三角形，使用勾股定理也罢，计算出AB的长度，就是纯粹的代数运算了，最后三角形面积的最大值是4倍根号2减4。

如图，四边形ABCD中，角DCB=45度，AC垂直于BD，角BAC=2倍的角ACD，若AC=根号65，CD=8，求AD的长。

这个四边形有点不规则、难看，这是看到这个图形的第一印象，要是矩形多好。显然是要添加辅助线来构造你想要的“完美矩形”，如何来操作呢？

由45度角出发，作垂线；再由角BAC=2倍的角ACD出发，作角平分线，两下相结合，离你想象中的“完美矩形”也不远了。如图添加构造出矩形AFCG，大致的思考方向就这样定调了，接下就是细节逻辑的补充完善。

过C点作CE垂直于CD，交AB的延长线于E点，在三角形ACE中作出角平分线AF，这样很快得到AF平行于CD，从而AF也垂直于CE，也就知道三角形ACE是等腰三角形了。

思考到这个地方时，接着就是两个三角形BCD与BCE全等条件的寻找了，此时还有条件AC垂直BD没有很好的利用上。再次利用两个45度角为运算桥梁，来推导出角E与角BDC相等。角E=角ACE=45度+角ACB，角BDC=90度-角ACD，而角ACD+角ACB=45度。

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