数学是融会贯通的。
我通过小学数学阶段的图形面积来具体说明一下。
我们都学习过几何，几何里面要学面积。我们小学阶段，有很大的一个时期，是学习各种图形的面积计算。
我们学会了正方形面积是边长乘以边长，长方形面积是长乘以宽，平行四边形面积是底乘以高，梯形面积是上底与下底之和乘以高除以二，而三角形面积是底乘以高除以二。
这么多公式，是不是安全不相关的一团乱麻呢？
不是的。如果你觉得这里面有很多个知识点，需要分别死记硬背过来，那说明你没有仔细思考这些公式之间的因果关系，没有把它们融会贯通起来。
如果我们稍稍思考一下就会发现，这些面积公式其实都是一个，长方形、平行四边形、梯形、三角形，这些面积公式，都是要把图形用切割拼接的方式，拼成正方形，再进行计算。
也就是说，三角形、梯形、平行四边形、长方形的面积公式，计算的都是切割拼接成正方形以后的面积。
而面积的核心意义，就是正方形。而这恰恰也是面积的单位叫“平方”的根本原因。“平方”这两个字，深切明晰地表明了面积就是用一个“平的”、“方的”的东西来衡量的数量。
我们现在知道了，长方形、平行四边形、梯形、三角形的面积，其实都是把不“平方”的图形，经过切割、拼接以后得到的图形的面积。
那么，扇形呢？扇形可以不可以归入正方形的这种理解呢？
我们可以在脑子里做一个思想实验，把扇形的弧线想象成三角形的一个底，如何？我们立刻就发现了，扇形就是一个底是弧形的三角形。这个三角形的面积，就是这个底乘以高除以二，而这个底的长度就是那段弧线的长度，高度是半径。
我们又知道，圆形其实就是一种特殊的扇形，是一种三百六十度的转了一周的扇形。那么，让我们更进一步，展开想象的翅膀，大胆一点，圆形算不算一种三角形呢？
只要我们够大胆，就会发现圆形可以想象成一种三角形。
它的圆心是三角形的一个顶点，圆周是顶点对应的一条边，而这个三角形的另外两条边，也就是腰，就是半径，还相等，而且因为转了一周，而重合了。
有了这个大胆的想象，我们再看圆形的面积公式，就完全不一样了。它就是一个三角形的面积公式。这个三角形的底长度是圆周率乘以直径，也就是圆周率乘以二倍的半径长度，高是半径，所以面积就是圆周率乘以半径的平方。
经过我们一番天马行空的想象，我们发现扇形、圆形、三角形、梯形、平行四边形、长方形、所有的规则图形，面积都是正方形的变化。我们找到了一棵大树的根，进而可以顺着树干向上，找到它的所有的枝干、叶子。
这就是我们所得到的。
可是，我们如果脑袋瓜子转的更多，就会有一个疑问，这些图形要么是四边形，要么是圆形（扇形），如果是不规则的图形，要怎么计算呢？
如果有一个小学生，通过自己的思考，认为不规则的图形，可以分割成很小的规则图形来汇总计算。那么我们应该恭喜他，祝福他，因为他已经知道了面积的本质意义，而且摸到了微积分大门的钥匙了。只要他掌握了更多数学工具，微积分的神圣殿堂，将任他进去游览。
如果我们学习过微积分，我们就会知道，不规则图形的面积可以通过积分计算。一个函数曲线在直角坐标系里面，跟另外三条边组成的面积，等于这个函数的定积分。
那么，积分可不可以计算规则图形呢？当然可以。
如果这个函数是一个一次函数，也就是线性函数，我们立刻就会发现，定积分计算的面积退化成了普通的三角形、梯形、平行四边形、长方形还有正方形。小学阶段学习的规则图形，属于不规则图形的一种特例，被包含在不规则图形里面，而已。
而所有这些面积的计算，又跟我们的其它应用息息相关。
比如我们经常做的行程问题，工程问题，以及其它所有速度与时间是乘积关系的问题，对应到图形上，不都是一种面积吗？
固定速度v，时间为t，那么路程就是一个以v为宽以t为长的长方形啊。
均匀增加速度从0到v，时间为t，那么路程就是一个以t为底以v为高的三角形啊。
增加速度从0到2πt，时间为t，那么路程就是一个以t为半径的圆啊！
这一点可能不是所有人都想过，其实这种行程问题对应的就是圆形的周长与面积的关系。
再次展开我们想象的翅膀，撒开了胡思乱想一下，一个圆的面积，是不是由它的周长组成的？而如果把半径作为时间的话，则从圆心开始的每一个圈，都是那个半径之下的一个速度，所有这些速度组合在一起，就是最终的圆的面积。
通过想象硬憋出来了，再看看圆形的周长公式，与面积的公式，是不是就是微积分的关系？
经过我们这一番“闭门造车”，在我们的脑子里面，把图形面积、应用题、微积分全都统一起来了。
我们再也不用死记硬背了，我们有了一个提纲挈领的思考角度，尽管这个角度有各种的不严谨，不完美，但是没有关系，只要它可以帮助我们理解数学学会数学就可以了。
而数学的美妙也就在此。即，数学的每一个部分，都不是孤立的需要记忆的知识，而是由统一的逻辑联系在一起。每一个逻辑的环，都对应着一种思考问题的角度。
比如运算法则，其实哪有那么多呢？如果我们从本质上看，只有叠加运算与相对应的逆运算两种变形而已。
道生一，一生二，三生万物。
因为要叠加，于是有了加法。加法的逆是减法。
而加法的叠加是乘法，乘法的逆是除法。
乘法的叠加是乘方，乘方的逆是开方。
再乘方的叠加，是什么呢？
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