壹 三等分任意角被認為只用尺規無法做出，但理由很強牽。
由三倍角公式sin3θ=3sinθ-4(sinθ)^3, 解方程得
sinθ=sin(30°±(1/3)×arccos(sin3θ))，间接用余角的三分角表示。
0＜3θ≤90°取 -，€(90,180)取 + 。兩角互为互補角！
有人制作矩形模型或圓形模型巧妙構建出三等分角的理想幾何關係圖，但關鍵那一點如何作出卻找不到！？
用作相等弦的方法通過等分弧可以達到等分角的目的（等弧對等角和等弦）。因為弧長函數l=θr是正比例函數，但曲線無法度量，園心角θ對應弦長m=2sin(θ/2)是正弦函數，雖然是直線但弦增加不是以倍數增長，故無法用比例線段等分， 這樣尺規作圖就很困難了。
作法：1。以任意長為半徑畫⊙O（半徑為1），將待三等分角AOB(设为6e)的頂點落在圓心上，交⊙O於A，B兩點。
2。連結AB（設為a），過點B作BC⊥AB ，過A作AG⊥AB，AGllBC 。
3。以B為圓心，2為半徑畫圓，交BC於D，以O為圓心OD為半徑交OB的延長線於E 。
4。以E為圓心，a為半徑畫弧，交⌒ED於F 。
5。過點F作FM∥BE，交BC於M。
6。過M作MN∥EF，交BE於N，則MN=EF=a ，MFEN為平行四邊形。
7。以O為圓心，OM為半徑畫圓，交AG於H，⌒MH=⌒MN 。
8。連結OM，OH分別交⊙O於P，Q，∠BOP，∠POQ為∠AOB的三等分角！则PB=2sin e 。
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通過艱苦的探索、研究，找到了一個簡截快速準確的方法來三等分角，以及五、七、九等分任意角！(曲率近似，半径接近)
其實從理論上任何等分也都可以准确做出(工具允许)包括很難做的13 、17、 23、29、31、37、41、43、47...等等！如 n=n'×2^x等分，(n'為奇數，x∈Z，且≥0)，先n'等分再將每分2^x等分。
贰 化圆为方
(sinx)^2+(√2/2)*sin(2x+Pi/4)=Pi/4, 解方程，得
2x=0.60747536772=34.805774728618° ,
Pi/2-2x=0.963320959073=55.19422527138°，
以上是圆被所化正方形截得的角度 。
最新作法，较精确！！！
作图依据 方法一
√10 -(√0.5 -0.5)/10=3.141567...≈π，五位有效數字同，小於π百萬分之八，可忽略不計。
t=3+√13 -√12=3.14144966...,较简截，相對差小π十萬分四點六，不过再精确也可能没有多大意义(作图误差远远大于数据细微变化，数据太小不易作不出)！？
√13=((√12)^2 +1)^.5，√t=1.7724135，√π=1.7724538 ...
方法二
( cos36°-tg36°)/4=0.02061861659,
√10 -0.02061861659=3.1416590436=a，
3+√13 - √12=3.14144966=b，
c=(a+b)/2=3.141554352,
d=(a+c)/2=3.1416066978,
e=(c+d)÷2=3.14158052485,
f=(d+e)/2=3.1415936113, f/Pi=1.000000305。
方法三
√10—((2—2cos54°)^.5—(2—2cos54°))/4=3.14138978415=m,
(m+a)/2=n, (n+a)/2=3.1415916=t, (方法二中数据)，
再平均很精确，十位有效数字相同 k=(f+t)/2=3.14159265366.
然后作出Pi/2,√Pi(再作正方形，连结对角线),√Pi /2 (在四条轴上分别截取)，做图即完成。
方法四
先作三个等圆，Pi=3.14158597,
方法五
sinx=(0.825)^4=0.46325039,
4(cosx)^2=3.141596302 .
0.825=7/8 - 0.1÷2 。
作法: 略
叁 倍立方
设2^(1/3)=1.25992105=x, 根据射影定理，2^2= x^2*x^4,相当于知道积求两个因数(未知数)，当然不能够求出。
最新作法，精确度高！！！
作圖依據 方法一
l=1.5√6 - √2-1=1.26002105，2^(1/3)=1.25992105...，
长度絕對差大萬分之一，相對差大於真實值不到十萬分之八 ，体积大近万分之五，相对误差近万分之二点四，可忽略不計。
误差比较大点！
方法二
1+[sin15°+(2-2cos15°)^.5]/2=1.2599357147713,
1.25993571477/2^(1/3)=1.0000116395,多十万分之一。
OE=HC/2=1.259935714,AH=0.258819045, AB=0.26105238444,
方法三
1.2599148526 ，比较简单快捷！！！
方法2 、3的结果取平均数1.2599252836706,再次平均可得更精确的数值1.25992006812033 ，接近真值1.259921049895 。
作法:略
五角星外接圓~三等分角 頂3θ，下θ，2θ 。
1/ b=1/(2×cos2x),是直径被b和另外一个直径所截得的中间那一段。
清明上河图
