阿基米德的论文《圆的测定》虽然常被引用，但我估计很少有人真正阅读过。今天人们最熟悉的莫过于用足够多边数的正多边形去逼近圆周率π的方法，以及为此而发展出来的递归法。递归法曾世界流传，在人们熟悉用级数表示π之前，这是人们用来计算圆周率的唯一有效方法。阿基米德的程序与常见描述并不完全一致。就我所知，用现代语言对此最好的介绍是π unleashed一书[2]。
然而，阿基米德的论文有许多细微之处似乎还未获得广泛的理解。原因之一在于他的算法是在古希腊通用的笨拙系统中完成的，该系统包含了来自古埃及奇怪的分数处理方法[i]。另一导致阿基米德的论文难读的原因是当时没有代数学为其所用。这一点已经引起了许多注解，但在本专题中我将讨论更为基本的数学问题。
阿基米德定理的内容
阿基米德的论文由两部分组成。第一部分是圆面积与其周长之间关系的论断及其证明。在第二部分中作者应用前一部分证明过程中所奠定的技术来逼近圆周率。虽然第二部分内容最引人关注，但我将只考虑第一部分的内容。
我们现有的《圆的测定》版本中，开篇断言：
任意圆的面积，与两条直角边长分别为该圆半径和周长的直角三角形的面积相等。
粗略地说，该定理成立是因为我们可以将圆与三角形都分别剖分为面积很接近的小区域。
现存版本中，该定理的证明紧随其论断之后。下面我将概述其证明，略加解释，并再附一些图片。其基本思路几乎与证明欧几里得XII.2[ii]相同。按照现代语言，欧几里得XII.2称圆面积正比于其半径的平方。在欧几里得的证明中，圆面积的上、下界分别为边数渐增的外切、内接正多边形的面积，而阿基米德的证明中，圆周长也有类似的上下界。阿基米德与欧几里得的证明有所重叠并不奇怪，因为欧几里得XII.2是阿基米德定理的直接推论。
定理的论述本身也是有趣的。用代数语言来描述，圆面积为πr2，圆周长为2πr。这与阿基米德所称一致：
πr2=12?r?2πr.
但是古希腊人没有代数学，也没有我们现在所用的实数概念。对欧几里得而言，π没有任何意义。事实上，阿基米德的一个创新即在于其与现代想法很接近的思想。注意到希腊人用量之比，他们的所有“公式”都是如此，总是断言两个面积相等。一个典型的例子是，他们不说平行四边形的面积等于底乘高，而是说平行四边形与同底等高的矩形有相同的面积。
阿基米德的论证与其它应用穷竭法的论证思路相同，即展开一个可能无穷的过程，直到某些事情发生而终止。（穷竭法来自希腊，但这个术语是几百年之后的欧洲人提出来的。）阿基米德将此技术的发明权含蓄地归功于他似乎唯一尊敬的前辈——欧克多斯(Eudoxus)。一般认为欧克多斯创造了一种极其复杂的方式，依此而使得欧几里得能证明可能涉及不可比数[iii]的结果。穷竭法和“比”的理论是古希腊数学中两个最微妙的部分。好几个世纪里，它们是古希腊数学严密性的试金石。但应用它们却相当困难，因为一般而言每一个问题都需要不同的处理技巧。虽然复杂，希腊人的这套绝技一直独霸到十九世纪初期，直到柯西引入他的代数不等式开启现代数学推理的新时代。
阿基米德定理的证明
设C为一圆，T为一三角形，其高为圆半径、底为圆周长。如同所有的穷竭法一样，接下来的证明也分为两部分。首先证明C的面积不可能大于T的面积，然后再证明它又不可能小于三角形面积。因此余下来的可能性只能是两者相等。
第一部分将证明圆的面积不比三角形的面积大。下面的论证中我们需要三个断言，其证明将延后给出。
断言1：任何圆内接多边形的面积小于C的面积。
以如下方式定义Π4,Π8等一系列圆内接多边形：Π4为圆内接正方形，Π8为平分Π4各边对应弧所得的圆内接正八边形，一般地，Π2n为将Πn各对应弧平分所得的边数为2n的圆内接正多边形。
由断言1知Πn的面积比C的面积小。设
δn=C的面积?Πn的面积>0. 在上图中，δn即红色部分的面积。我们还要用到
断言2：δ2n<δn/2，以及
断言3：任何圆内接正多边形的面积小于前面定义的三角形T的面积。
这一点稍难证明。因为圆内接正多边形和三角形T都可被细分，如下图情形，断言3源于以下两个事实：
其中第二条得自欧几里得III.2，即线段PQ位于圆内。第一条虽然从图观察很明显，但是我们将看到要相信我们之所见还有些问题。
我们先假设这三条断言为真。我们使用反证法，即假设C的面积大于T的面积：
d=C的面积?T的面积>0. 根据阿基米德原理（即欧几里得X.1），由断言2我们可取充分大的n使得δn<d。我们现在有
Πn的面积<T的面积<C的面积. 这表明
d=C的面积?T的面积<C的面积?Πn的面积=δn, 但这与n的选取矛盾。
第二部分将证明三角形的面积不比圆的面积大。在第二部分的证明中，我们还是用反证法，即假设C的面积小于T的面积来得出矛盾。这次我们将要求助外切多边形。
在这一部分中，我们设Π4为圆C的外切正方形，以及一般地从Πn出发，找到n个等分弧的中点，再作圆的n个切线，得到边数为2n的圆外切正多边形。在这种情形，Π2n严格位于Πn之内。令
δn=Πn的面积?C的面积>0. 同理可证明δ2n<δn/2。代替上页断言3的是：
断言4：T的面积小于Πn的面积。
之后的证明与第一部分很相似：从C的面积小于T的面积这个假设得出矛盾。
剩下来需验证断言1—4。其中最简单的是断言1。若我们知道由割圆线段所构造的多边形含于圆内，则该结论可从《几何原本》第一卷公理5(即“整体大于部分”)直接得到。这恰为欧几里得III.2的结论。
断言2是欧几里得证明X.2的关键，X.2称圆的面积正比于半径的平方，这在希斯版的《几何原本》中有很好的解释，因此我不再赘述。但断言3与4确实不在《几何原本》中，事实上这正是阿基米德的杰出创新。关键问题是，如何定义曲线的长度？
什么是圆周长？
除了线段长，欧几里得从不谈及任何其它长度。其实这是一个很困难的问题，因为平面上存在有无穷长度的连续曲线。问题可如下提出：如何比较平面上两条曲线的长度，或比较三维空间中两个曲面的面积？“在什么条件下，我们可以判断一条曲线比另一条更长或更短？”阿基米德如何处理这些问题呢？
问题最早可能出现于阿基米德最著名的作品《论球与圆柱I》之中，其中他通过内接圆柱计算了球的面积。这比圆周长更复杂，但原理却是相似的。在《论球与圆柱I》的介绍中，他得出的两个引理正是我们这里需要的。聪明的阿基米德并未给出引理的太多细节，也没有提供证明。
阿基米德的第一个引理是两条可能的曲线最简单的比较。
引理1 两点间的直线段短于任何其它连接此两点的轨道。
第二条要更细致些。
引理2 给定两点P和Q。假设有两条从P到Q的凹轨道都处于线段PQ的同一边。若其中一条轨道处于另一条轨道和线段PQ之间，则它的长度更短。
一条连接P和Q且处于PQ一边的轨道是凹的，那么该轨道和线段PQ所围区域是凸的。就我所知，阿基米德是第一个在数学上使用凸区域概念的人。
我将稍后讨论这些引理，先看看如何从这些引理得到断言3。在本文一开始的图形中，n=4的三角形T被分割为4个小三角形，其中每一个小三角形有相同的长为弧PBQ长的底，以及相等的高OP。然而，按照引理1，弧PBQ的长度大于PQ长，同时，由欧几里得III.2得OB大于OA。根据对称性，由此可知断言3在此情形成立，一般情形n也可如此推理。
引理2在阿基米德定理证明的第二部分中需要使用。
接下来的问题是，阿基米德是如何证明上述引理的呢？
如何解释阿基米德的引理？
实事求是地说，据我所知，阿基米德从没在任何地方给出过即使是最轻微的提示来回答这个问题。我将提出一些他可能用过的合情推理。首先，因为我们只是寻求合情性，我们可以将问题简化，假设所考虑的轨道都是多边形。
我们先看引理1。其最简单情形即说三角形中任意一条边小于另外两条边之和，见下图中。此即欧几里得I.21，也是归纳法进行证明的基础。欧几里得在非正式基础上已经熟悉归纳法。假设我们有一由三条线段组成的、连接P与Q的多边形轨道PP1P2P3，其中最后一个点P3是Q，见下图中。作辅助线PP2，并应用欧几里得I.21，我们得到
PQ<PP2+P2Q<(PP1+P1P2)+P2Q. 这样我们可如欧几里得那样以此类推，得到引理1。
引理2更为有趣。同样，我们考虑一个简单情形：内部曲线由两条线段组成。
我们需要证明内部轨道之长小于外部轨道之长：
PQ1+Q1Q<PP1+P1P2+P2Q. 应用引理1两次我们得到
PR<PP1+P1P2+P2R, Q1Q<Q1R+RQ, 由此可得到：
PQ1+Q1Q<<=PQ1+Q1R+RQ=PR+RQ(PP1+P1P2+P2R)+RQPP1+P1P2+P2Q. 这就证明了内部曲线是两条线段的情形。更广泛地，比如下左图所示，我们可以对内部轨道的线段数使用归纳法。
上述证明可行是因为我们已经假设内部轨道是凹的。这可保证点R位于上方轨道PP1P2Q的线段P2Q上，如果没有凹的假设，比如内部轨道有转折，如上右图所示，内部轨道可能会更长，那么引理2就不成立了。
[i] 译者注：古埃及分数是不同的单位分数的和。单位分数是分子为1，分母为正整数的分数。例如我们现在用的2/3古埃及分数表示为1/2+1/6。
[ii] 译者注：即欧几里得《几何原本》[1]第十二卷命题2，下类似。
[iii] 译者注：原文为irrational ratios，指现今所说的无理数。
[iv] 译者注：该命题称在一圆的圆周上任取两点，连接这两点的线段落在圆内。
进一步阅读资料
- [1] 阿基米德, Sphere and cylinder I和Measurement of the circle, 由希斯（T. L. Heath）翻译。剑桥大学出 版社1897年原版, Dover出版社重印。
- 海伯格所得的阿基米德关于圆的论文有些紊乱（希斯版译自海伯格的希腊文版）。据称阿基米德Codex中有此工 作的另一文本正由Reviel Netz（缓慢地）编辑，但我不知道其中是否与海伯格、希斯的版本有太大的差别。
- 希斯版阿基米德作品见（http:///details/worksofarchimede029517mbp）。更多关于阿基米德的作 品的链接可以在纽约大学的网页“阿基米德有关的书”中见到（http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Books/ArchimedesInternet.html）。
- [2] J?rg Arndt 与 Christoph Haenel,π unleashed, Springer-Verlag, 2000.
- [3] Judith Grabiner, The origins of Cauchy's rigorous calculus, MIT出版社，1981。 Dover出版社重印。这本书有助于重握柯西贡献的起始风味。
- [4] Euclid, The Elements. Translated into English by T. L. Heath，剑桥大学出版社原版， Dover出版社重译。 这个版本的价值在于其大量注释，虽然有些陈旧。
- [5] Otto Toeplitz, The Calculus: a genetic approach, 芝加哥大学出版社，1963。这本书来自在作者去世后发现 的一个相当完善的手稿。作为教材，这本书有点生僻，虽然这本书高度原创。开篇第一章讨论了古希腊人如何处理 无穷过程，这是很少几处讨论古希腊人如何看待极限的当代文献之一。我即是最先从此书中学习穷竭法。
- [6] 维基百科上关于“Madhava”以及来自印度喀拉拉邦（Kerala）的数学家们发现π的级数展开的条目
——欧阳顺湘译，2012年6月于比勒费尔德。
