一年一度的中、高考即将来临，在接下来的至少2～3个月内，如何命题又会成为社会的热点话题，甚至舆论往往会把命题者推到风口浪尖。命题是一项专业性很强的工作，命题者一方面要具备扎实的学科知识功底；另一方面又要具备丰富的命题经验。先看两道真实的中考题。
例1 下列算式：
运算结果正确的概率是（ ）。
【说明】例1表明命题者的数学学科知识功底欠缺，对概率的意义没有真正搞懂。
例2 先化简，再求值：
【说明】例2表明命题者缺乏命题经验。综合题不是将几个知识点人为地捆绑在一起，而是指解决一个问题需要综合运用相关知识。本题中，命题者自以为把代数式化简和解不等式综合在一起，殊不知，学生通过解不等式得出x的值后直接代入代数式求值更简单，而无需化简——先化简，再求值，会让学生感到多此一举。
如此看来，命数学题确实不简单。那么，命数学题有章可循吗？
一、根据解决数学问题的基本思路命数学题是命题的基本方法
如图1，解决数学问题的基本思路是把没有解决的问题转化为已经解决的问题，复杂的问题转化为简单的问题。而命数学题则刚好相反，往往是从已知问题出发，通过增加思维量，不断变式，得到新问题。
图1
例3 如图2，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。牧马人到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？
图2
【说明】这是我们十分熟悉的一道题。作点B关于直线l的对称点B＇，连结AB＇交直线l于点C，则点C就是所求的饮马位置。
解决本题的思路是：在直线l上任取一点C，作点B关于直线l的对称点B＇，连结CB＇，则CB=CB＇。要使AC+CB＇的长度最短，根据“两点之间线段最短”，连结AB＇交直线l于点C，则点C即为所求。
变式1：如图3，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为 。
图3
【说明】由于BE是定值，所以求△BEQ周长的最小值，只需求EQ+BQ的最小值——转化为原题例3。如图4，显然，点B关于AC的对称点为D，所以DE就是EQ+BQ的最小值。
图4
变式2：如图5，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b距离为3，AB=
图5
【说明】由于MN是定值，所以要求AM+MN+NB的长度和最短，只需求AM+NB的最小值。这时涉及两条直线，M、N是不同的点，分别在两条直线上。由于MN⊥a，可以把AM沿MN方向平移，使点M与点N重合，这时点A的位置A＇刚好是点A关于直线a的对称点。因此，M、N可以这样确定：如图6，作点A关于直线a的对称点A＇，连结A＇B交直线b于点N，过点N作直线a的垂线，垂足为点M。
图6
例4 如图7，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm。把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB 、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
图7
变式1：如图8，△ABC是一个锐角三角形，边BC＝120，高AD＝80，在△ABC 内作第1个内接正方形B1E1F1C1（E1、F1在BC上，B1、C1分别在AB、AC上），再在△AB1C1内用同样的方法作第2个内接正方形B2E2F2C2，……如此下去，操作n次，则第n个小正方形BnEnFnCn的边长是 。
图8
【说明】与原题相比，变式1的解题方法没有变化，难度在于寻找正方形的边长与n的关系。
变式2：如图9，一阁楼有一扇透光面积为0.48m2的三角形小窗户（△ABC）。为了安装防护钢架，一位焊工已截取了2.00m长的条形钢材制作成“倒T型”架作为支架（AD段与BC段焊接，且AD⊥BC），现欲再截取3段一样长的钢材来与“倒T型”架底边焊成一个正方形钢架EGHF（其中点E、F分别在AB、AC上，G、H在BC上），问这位焊工截取的每段钢材应是多长？
图9
【说明】与原题相比，变式2给出了一个具体情境，将条件用不同的方式呈现，题目的实质没有改变。
变式3：如图10，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则使得面积最大的矩形零件的长边和短边分别是多少？
图10
【说明】与原题相比，变式3将条件弱化——正方形改成矩形，这时无法求出矩形的长和宽，但可以用宽表示长（或用长表示宽），因此把问题改成求面积最大时的长和宽。
变式4：某居民小区准备在一块等腰三角形的草坪上修建一座正方形游泳池，该三角形草坪的测绘尺寸如图11所示，请你为施工队设计游泳池位置规划方案，使得正方形游泳池面积最大，并加以证明。
图11
【说明】变式4改变呈现形式，将原题变成一道探究性问题。
例5 如图12，在正方形方格图上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形相似吗？如果相似，请给出证明，并求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比。
【华东师大版《初中数学》九年级上册72页的练习3】
图12
【说明】像这种把图形放在正方形方格中的问题，往往都是通过求出线段的长度解决问题。
变式1：如图13，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点， △ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是（ ）。
【2016年湖北省荆州市中考试题】
变式2：如图14，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）。
【2016年湖北省襄阳市中考试题】
变式3：如图15，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O、A、B 均为格点，则扇形OAB的面积大小是 （ ）。
【2016年湖南省邵阳市中考试题】
变式4：在公园的点O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图16所示（图中小正方形的边长均相等）。现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（ ）。
【2016年湖北省宜昌市中考试题】
图16
变式5：如图17为三个形状相同的正方形，求∠BAD+∠CAD的度数。
图17
【说明】本题中，正方形方格图不完整，但也需要通过求出线段的长度解决问题。把中间的正方形沿AD所在直线向下翻折，得到图18。这样，求∠BAD+∠CAD的度数，就转化为求∠B1AC的度数。
图18
二、以考查数学的本质为导向，努力提高考查的信度和效度
譬如考查“两点之间线段最短”，如果命“填空题：两点之间 最短”，信度和效度就较低。因为即使学生填对了，也并不代表他理解了“两点之间线段最短”，通过这样的考题就很难获得关于学生学习状态的信息。而下面试题的信度和效度就较高。
例6 如图19，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）。
【2016年湖北省宜昌市中考试题】
图19
例7 考查“点到直线的距离”。
（1）如图20，△ABC中，∠C=90°，AC=3，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是 （ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
【2010年浙江省台州市中考试题】
（2）如图21，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A、D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（ ）。
【2016年山东省淄博市中考试题】
（3）如图22，四边形ABCD中，∠BAD=∠DCA=90°，AB=AD=
【2016年四川省凉山州中考试题】
【说明】以上3题都是考查“点到直线的距离”。但都不是直接考查，而是考查学生对“点到直线的距离”这一概念本质的理解，这样就提高了考查的信度和效度。
三、从双向细目表转到基于数学学科核心素养测试的评价框架
《普通高中数学课程标准（2017年版）》在“学业水平考试与高考命题建议”中指出：在命题中，要关注内容与难度的分布、数学学科核心素养的比重与水平的分布。为了使整套试卷有一个合理的内容和能力结构，以往命题时，我们都是先设计如下所示的双向细目表。
《普通高中数学课程标准（2017年版）》在“学业水平考试与高考命题建议”中构建了基于数学学科核心素养测试的评价框架。评价框架包括三个维度（参见中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018：89）：
第一个维度是反映数学学科核心素养的四个方面：情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思；
第二个维度是四条内容主线：函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动；
第三个维度是数学学科核心素养的三个水平。
同时要求：对于每道试题，除了给出传统评分标准外，还需给出反映相关数学学科核心素养的水平划分依据。
据此可以得出如图23所示的基于数学学科核心素养测试的初中数学评价框架。每一道试题P由一个三维向量（内容主线，核心素养，学业质量水平）确定。
图23
例8 探究证明“三角形三条中线交于一点”。
（1）证明“三角形三条中线交于一点”可转化为证明“三角形两条中线的交点在第三条中线上”。如图24，已知线段BE、CF分别是AC、AB边上的中线，BE、CF交于点O，根据不同的证明方法，可以用不同的方式表述需要证明的结论，如可将需要证明的结论表述为：AD是BC边上的中线，AD与BE的交点O′与O是同一点。还可以怎样表述需要证明的结论？
（2）证明你表述的结论。
（3）通过探究证明“三角形三条中线交于一点”的方法，你能归纳出解决数学问题的基本思路吗？
图24
【说明】《普通高中数学课程标准（2017年版）》在“学业水平考试与高考命题建议”中指出：命题时，应有一定数量的开放性问题和探究性问题，重点考查学生的思维过程和创新意识，应特别关注数学学习过程中思维品质的形成，关注学生会学数学的能力。开放性问题和探究性问题的评分应遵循满意原则和加分原则，达到测试的基本要求视为满意，有所拓展或创新可以根据实际情况加分。本题的评分可遵循满意原则和加分原则。
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