1．(2016·湖州)定义：若点P(a，b)在函数y＝x1的图象上，将以a为二次项系数，b为一次项系数构造的二次函数y＝ax2＋bx称为函数y＝x1的一个“派生函数”．例如：点(2，21)在函数y＝x1的图象上，则函数y＝2x2＋21x称为函数y＝x1的一个“派生函数”．现给出以下两个命题：
(1)存在函数y＝x1的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧；
(2)函数y＝x1的所有“派生函数”的图象都经过同一点．
下列判断正确的是(C)
A．命题(1)与命题(2)都是真命题
B．命题(1)与命题(2)都是假命题
C．命题(1)是假命题，命题(2)是真命题
D．命题(1)是真命题，命题(2)是假命题
提示：(1)∵P(a，b)在y＝x1上，
∴a和b同号．∴对称轴在y轴左侧．
∴存在函数y＝x1的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧，是假命题；
(2)∵函数y＝x1的所有“派生函数”为y＝ax2＋bx，∴x＝0时，y＝0.
∴所有“派生函数”的图象都经过原点．
∴函数y＝x1的所有“派生函数”的图象都经过同一点，是真命题．
故选C.
2．(2016·永州)我们根据指数运算，得出了一种新的运算，下表是两种运算对应关系的一组实例：
指数运算
21＝2
22＝4
23＝8
…
31＝3
32＝9
33＝27
…
新运算
log22＝1
log24＝2
log28＝3
…
log33＝1
log39＝2
log327＝3
…
根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216＝4；②log525＝5；③log221＝－1.其中正确的是(B)
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
3．(2016·益阳)我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点．反比例函数y＝－x3的图象上有一些整点，请写出其中一个整点的坐标答案不唯一，如：(1，－3)．
4．(2016·雅安)P为正整数，现规定P！＝P(P－1)(P－2)×…×2×1，若m！＝24，则正整数m＝4．
5．(2016·凉山)阅读下列材料并回答问题：
材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝2a＋b＋c，那么三角形的面积为S＝.①
古希腊几何学家海伦(Heron，约公元50年)，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．他在《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称海伦公式．
我国南宋数学家秦九韶(约1202—约1261)，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：S＝）2]a2＋b2－c2.②
下面我们对公式②进行变形：
）2]a2＋b2－c2
＝）2a2＋b2－c2
＝）a2＋b2－c2
＝42ab－a2－b2＋c2
＝4c2－（a－b）2
＝2b＋c－a
＝.
这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式，所以我们也称①为海伦—秦九韶公式．
问题：如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，AC＝7，⊙O内切于△ABC，切点分别是D、E、F.
(1)求△ABC的面积；
(2)求⊙O的半径．
解：(1)∵AB＝13，BC＝12，AC＝7，
∴p＝213＋12＋7＝16.
∴S＝
＝
＝24.
(2)连接OE、OF、OD、OB、OC、OA.设⊙O的半径为r.
∵BC切⊙O于E点，∴OE⊥BC.
∴S△OBC＝21BC·OE＝21ar.
同理：S△OAC＝21br，S△OAB＝21cr.
∴S△ABC＝S△OBC＋S△OAC＋S△OAB＝21r(a＋b＋c)．
∴21r(12＋7＋13)＝24，解得r＝23.
6．(2016·重庆)我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q(p，q是正整数，且p≤q)，在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F(n)＝qp.例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1＞6－2＞4－3，所有3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝43.(1)如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F(m)＝1；
(2)如果一个两位正整数t，t＝10x＋y(1≤x≤y≤9，x，y为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F(t)的最大值．
解：(1)证明：对任意一个完全平方数m，设m＝n2(n为正整数)，
∵|n－n|＝0，∴n×n是m的最佳分解．
∴对任意一个完全平方数m，总有F(m)＝nn＝1.
(2)设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10y＋x，
∵t为“吉祥数”，
∴t′－t＝(10y＋x)－(10x＋y)＝9(y－x)＝18.
∴y－x＝2，即y＝x＋2.
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，
∴“吉祥数”有：13，24，35，46，57，68，79.
∴F(13)＝131，F(24)＝64＝32，F(35)＝75，F(46)＝232，F(57)＝193，F(68)＝174，F(79)＝791.
∵75＞32＞174＞193＞232＞131＞791，
∴所有“吉祥数”中，F(t)的最大值是75.
7．(2015·遂宁改编)阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．
计算：(1－21－31－41)×(21＋31＋41＋51)－(1－21－31－41－51)×(21＋31＋41)．
令21＋31＋41＝t，则
原式＝(1－t)×(t＋51)－(1－t－51)×t
＝t＋51－t2－51t－t＋t2＋51t
＝51.
问题：
(1)计算：(1－21－31－41－…－2 0151)×(21＋31＋41＋…＋2 0161)－(1－21－31－41－…－2 0161)×(21＋31＋41＋…＋2 0151)；
(2)解方程：(x2＋5x＋1)(x2＋5x＋7)＝7.
解：(1)令21＋31＋41…＋2 0151＝t，则
原式＝(1－t)×(t＋2 0161)－(1－t－2 0161)×t
＝t＋2 0161－t2－2 0161t－t＋t2＋2 0161t
＝2 0161.
(2)令x2＋5x＝t，则原方程化为(t＋1)(t＋7)＝7.
整理，得t2＋8t＝0，解得t＝0或t＝－8.
①当t＝0时，x2＋5x＝0，解得x＝0或x＝－5；
②当t＝－8时，x2＋5x＝－8，即x2＋5x＋8＝0.∵Δ＝b2－4ac＝52－4×1×8＝－7<0，
∴此方程无解．
因此原方程的解是x＝0或x＝－5.
8．(2016·郴州)设a、b是任意两个实数，规定a与b之间的一种运算“⊕”为：a⊕b＝a－b（a≤0），（a＞0），例如：1⊕(－3)＝1－3＝－3，(－3)⊕2＝(－3)－2＝－5，(x2＋1)⊕(x－1)＝x2＋1x－1(因为x2＋1＞0)．
参照上面材料，解答下列问题：
(1)2⊕4＝2，(－2)⊕4＝－6；
(2)若x＞21，且满足(2x－1)⊕(4x2－1)＝(－4)⊕(1－4x)，求x的值．
解：∵x＞21，∴2x－1＞0.
∴(2x－1)⊕(4x2－1)＝2x－14x2－1＝2x－1（2x＋1）（2x－1）＝2x＋1.
∵－4＜0，∴(－4)⊕(1－4x)＝－4－(1－4x)＝－4－1＋4x＝－5＋4x.
∴2x＋1＝－5＋4x，解得x＝3.
9．(2016·咸宁)阅读理解：
我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形．设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把sinα1的值叫做这个平行四边形的变形度．
(1)若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是33；
猜想证明：
(2)若矩形的面积为S1，其变形后的平行四边形面积为S2，试猜想S1，S2，sinα1之间的数量关系，并说明理由；
拓展探究：
(3)如图2，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB2＝AE·AD，这个矩形发生变形后为平行四边形A1B1C1D1，E1为E的对应点，连接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面积为4(m＞0)，平行四边形A1B1C1D1的面积为2(m＞0)，试求∠A1E1B1＋∠A1D1B1的度数．
图1 图2 图3
解：(2)猜想：sinα1＝S2S1.理由如下：如图3，设矩形的长和宽分别为a，b，其变形后的平行四边形的高为h. 则S1＝ab，S2＝ah，sinα＝bh
.∴S2S1＝ahab＝hb，sinα1＝hb.∴sinα1＝S2S1.
(3)由AB2＝AE·AD，可得A1B12＝A1E1·A1D1，即A1D1A1B1＝A1B1A1E1.
又∵∠B1A1E1＝∠D1A1B1，∴△B1A1E1∽△D1A1B1.∴∠A1B1E1＝∠A1D1B1.∵A1D1∥B1C1，∴∠A1E1B1＝∠C1B1E1.
∴∠A1E1B1＋∠A1D1B1＝∠C1B1E1＋∠A1B1E1＝∠A1B1C1.
由(2)中sinα1＝S2S1，可知sin∠A1B1C11＝mm＝2.
∴sin∠A1B1C1＝21.∴∠A1B1C1＝30°.
∴∠A1E1B1＋∠A1D1B1＝30°.
10．(2016·邵阳)尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF，BE是△ABC的中线，且AF⊥BE，垂足为P，设BC＝a，AC＝b，AB＝c.求证：a2＋b2＝5c2.
该同学仔细分析后，得到如下解题思路：
先连接EF，利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA，故BPEP＝PAPF＝BAEF＝21，设PF＝m，PE＝n，用m，n把PA，PB分别表示出来，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理计算，消去m，n即可得证．
(1)请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程；
(2)利用题中的结论，解答下列问题：
在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，如图2所示，求MG2＋MH2的值．
解：(1)连接EF，设PF＝m，PE＝n.
∵AF，BE是△ABC的中线，
∴EF为△ABC的中位线，AE＝21b，BF＝21a.
∴EF∥AB，EF＝21c.
∴△EPF∽△BPA.
∴BPEP＝PAPF＝BAEF＝21，即PBn＝PAm＝21.
∴PB＝2n，PA＝2m.
在Rt△AEP中，∵PE2＋PA2＝AE2，
∴n2＋4m2＝41b2.①
在Rt△BFP中，∵PF2＋PB2＝BF2，
∴m2＋4n2＝41a2.②
①＋②，得5(n2＋m2)＝41(a2＋b2)．
在Rt△EFP中，∵PE2＋PF2＝EF2，
∴n2＋m2＝41c2.∴5·41c2＝41(a2＋b2)，即a2＋b2＝5c2.
(2)连接EF.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，AD＝BC，BD⊥AC.
∵E，F分别为线段AO，DO的中点，
∴EF∥AD，EF＝21AD.
∴EF∥BC，EF＝21BC.
∴E，F分别是BM，CM的中点．
由(1)的结论得MB2＋MC2＝5BC2＝5×32＝45.
∵AG∥BC，∴△AEG∽△CEB.
∴BCAG＝CEAE＝31.∴AG＝1.
同理可得DH＝1.
∴GH＝AD－AG－DH＝1.
又∵GH∥BC，∴MBMG＝MCMH＝BCGH＝31.
∴MB＝3GM，MC＝3MH.
∴9MG2＋9MH2＝45，即MG2＋MH2＝5.
11．(2016·永州)问题探究：
1．新知学习
若把将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“面线”，其“面线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“面径”(例如圆的直径就是圆的“面径”)．
2．解决问题
已知等边△ABC的边长为2.
(1)如图1，若AD⊥BC，垂足为D，试说明AD是△ABC的一条面径，并求AD的长；
(2)如图2，若ME∥BC，且ME是△ABC的一条面径，求面径ME的长；
(3)如图3，已知D为BC的中点，连接AD，M为AB上的一点(0＜AM＜1)，E是DC上的一点，连接ME，ME与AD交于点O，且S△MOA＝S△DOE.
①求证：ME是△ABC的面径；
②连接AE，求证：MD∥AE；
(4)请你猜测等边三角形ABC的面径长l的取值范围(直接写出结果)．提示：x2＋y2≥2xy.
