以掷一枚硬币来打赌，出A面你投一亏一，出B面你投一赚二；假设只有100元，怎样重复下注能最快速度成为百万富翁? 凯利公式说，每次用25%的资金下注。
最近，万卷出版公司出版了美国作者威廉.庞德斯通写的《财富公式：玩转拉斯维加斯和华尔街的故事》（以下简称《财富公式》），该书详细地介绍了围绕财富公式发生的许多有趣故事，使得投资组合的学院派（以马科维茨理论为基础）和复利派（以几何平均收益为准则）之争在中国更加广为人知。
现在是投资界考虑接受一种不同的投资组合理论的时候了。
什么是投资组合？
首先我们从掷硬币打赌谈起。假设有一种可以不断重复的投资或打赌，其收益由掷硬币确定，硬币两面出现的可能性相同；出A面你投一亏一，出B面你投一赚二；假设你开始只有100元，输了没法再借。现在问怎样重复下注，可以使你尽快地由百元户变为百万元户? 凯利公式告诉我们，每次将你所有资金的25%用来下注，你变为百万富翁的平均速度将最快。前面的打赌中，硬币只有一个。
如果同时有两个、三个或更多，赌不同硬币的赢亏幅度也不同，两面出现的概率也可能不同；那么，怎样确定在不同硬币上的最优下注比例？如果不同硬币出现A面B面是不同程度相关的(比如一个出A面，另一个十有八九相同－正相关，或相反－反相关)，又如何确定最优下注比例？
股票、期货、期权、放贷、房地产、高科技等投资像掷硬币打赌一样，收益是不确定的且是相互关联的。如何确定在不同证券或资产上的投资比例，以使资金稳定快速增长，并且风险较小，这就是投资组合理论要解决的问题。
马科维茨理论及其缺陷
1952年，马科维茨（Harry Markowitz）发表了《有价证券的选择：有效的转移》。他导致了投资组合理论的诞生。1990年，瑞典皇家科学院将诺贝尔经济学奖授予了马科维茨、夏普(William F. Sharpe) 和米勒(Merton Miller), 以表彰他们在投资组合和证券市场理论上的贡献。
马科维茨用期望收益 E和标准方差d表示一种证券的投资价值和风险。期望收益也就是算术平均收益。收益的标准方差d反映了收益的不确定性。比如对于上面的掷硬币打赌，用全部资金下注时，E＝0.5; d=1.5。根据马科维茨理论，期望越大越好，而标准方差越小越好。至于两种证券或组合，一个比另一个期望收益大，标准方差也大，那么选择哪一个好呢？马科维茨理论认为这没有客观标准。有人不在乎风险而只期望收益越大越好，而有人为了小一些的风险而情愿要低一些的期望收益。
马科维茨证明了，通过分散投资互不相关或反相关的证券，可以在不降低期望收益的情况下，减小总的投资的标准方差 (即风险)。比如同时用两个硬币打赌，赢亏幅度同样，每种证券下注50%时, 收益的可能性有三种：1)两边亏，亏100％，概率是=0.25; 2)一亏一赢，赢50％, 概率=0.5 ; 3)两边赢，赢200％，概率是0.25。这时期望收益E=0.5不变，标准方差d则由1.5减小为1.06。如果两个硬币的赢亏总是反相关的，比如一个出 A面，另一个必定出B面，反之亦然；则期望收益不变，标准方差为0-完全无风险。
马科维茨理论的成就是巨大的，但是其缺陷也是不可忽视的。缺陷之一是：不认为有客观的最优投资比例，或者说并不提供使资金增值最快的投资比例 (当然也就不能解决前面的掷硬币打赌问题)； 缺陷之二是：标准偏差并不能很好反映风险。
标准方差和VaR掩盖了小概率深度亏损， 而小概率事件可能非常可怕。美国长期资本公司破产、次贷危机、中信泰富和深南电因为累积看跌期权Accumulator产生巨亏，都是因为忽视了小概率深度亏损。
基于复利准则的投资组合理论(以下简称G理论)
早在1997年，我的专著《投资组合的熵理论和信息价值－兼谈股票期货等风险控制》正好包含了《财富公式》所缺少的技术细节。在此与读者分享。
复利通俗说来就是利滚利的利率，学术上叫几何平均收益。比如100元10年后变成1100元，单利或算术平均收益是（1100－100）/10=100%，但是复利或几何平均收益x由下式确定：（1＋x）10=1100/100。由此解得x=27%。几何平均收益反映长期累积增值，但是算术平均收益不能反映。比如有两个证券， 一个每年增值25％； 另一个一年增值100％， 下一年又亏损50％，反复如此（长期不赚钱）。虽然后一个证券的算术平均收益也是25％，但是其几何平均收益是零，所以其投资价值差远了。
对于上面的掷硬币打赌，几何平均产出比Rg＝1＋G（G是几何平均收益）随下注比例q的变化是其中P1和P2分别是亏损和赢利的概率。数学分析表明，q = 0.25时，几何平均收益Rg达最大。这就是说，对于上面的掷硬币打赌，25％是最优投资比例。
算术平均收益E和投资比例q成正比关系；而几何平均收益G不是，q太大反而不好，如果q>0.5则从长远看必然亏损。可见复利准则对头寸和杠杆的限制很严。
上面假设硬币的两面出现的可能性或概率相同，赢亏幅度是给定的（-1和2）。如果硬币是弯的，P1和P2皆不等于0.5, 并且亏损和赢利的幅度也是变的(为r1<0和r2>0)，这时几何平均产出比等于令Rg对q的导数等于0,可以求出最优投资比例是如果令r1=1(即亏了输掉全部下注资金)，则上面公式就变成著名的凯利公式：
对于更一般的投资组合。几何平均产出比变为其中qk是不同证券上的投资比例， i表示一组证券的价格矢量的序号， Rik表示第i个价格矢量发生时，第k种证券的收益。我们记为增值熵，求使H达最大的一组q0, q1, q2, ...... 这组投资比例就是最优组合。
和马科维茨理论一致的是，G理论也强调分散投资降低风险，特别是利用不同证券之间的反相关性质降低风险。但是不同的是：1） G理论把复利或长期累积增值幅度当作客观标准，而马科维茨理论不然。2）G理论要求我们预测最大可能亏损幅度和相应的概率，它力图避免深度亏损和破产；而马科维茨理论忽视偶然的深度亏损。
用破产风险测度取代流行的风险测度VaR
流行的风险测度是VaR，其含义是：在未来某时段内，一个投资组合在多大可能（置信度）的情况下，价值损失不超过多少（VaR值）。比如，一个基金在95％的情况下，一天损失不超过100万元。VaR测度的问题是：
1）在另外5％的情况下（以置信度95％为例），亏损最多达到多少？VaR测度并不提供。
2）VaR是根据过去数据统计得到的，而过去不表示未来。过去见到的天鹅都是白的，不表明不会出现黑天鹅。2008年的经济危机就前所未有。
为此，我建议用勾股弦公式定义风险F—它反映收益的波动性和亏损深度。再用f=F/(1+E)定义破产风险，它在0和1之间变化。当G＝E时，F＝0， 破产风险f＝0； 当G≤－1时（只要有一个价格矢量使得组合亏损超过100％，那么不管它发生的概率多么小，都会有G≤-1），破产风险f=1。有趣的是f和通信理论中的信噪比很相似。
由于高杠杆交易流行，一个组合的可能亏损可能很深，虽然它发生的概率很小，但是一旦发生， 破坏力极大，所以不能不防。破产风险测度f将告诉我们一个投资组合离破产有多远。限定f在某个范围，比如f<0.3, 便是把投资风险控制在适当范围内。
资料：“财富公式”是指美国著名物理学家约翰.凯利在1956年提出的一个数学公式，被称为“凯利公式”。它证明了在通信噪音干扰理论中使用的数学模型，同样适用于投资者对于风险和收益的管理。
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