在三角形中,四心,应该是一个最常见的话题了。 但是,也有很多刚上高中的孩子,可能根本就不太清楚四心的概念。 最近学习“直线”内容。 一条线讲斜率、倾斜角与方程; 所以,四心也就在所难免。 只是在这一章节里,我们主要还是要从解析几何的角度,去分析、研究四心问题。 当然,四心中最让学生难以把握的,也只有三角形的内心。 因为,内心与角平分线相关,而角平分线,在直线方程中,也算是有点综合性的知识了。 例题展示
两条线讲位置关系、角与距离;
那么三条线,当然是要讲讲三角形了。
其实,认真算一算,因为直线AC与BC的斜率互为相反数,所以这个题还算是比较简单的了。
毕竟,只要求一条角平分线就能搞定。
角平分线求解思路
求角平分线,当然首先要考虑的,应该是角平分线的定义及性质。
还是先说说我们所熟知的角平分线的性质。
①角平分线上的点到角两边距离相等;
②角的两边关于角平分线对称
③三角形角平分线定理
下面,就先从这三个角度,依次去研究下角平分线的求法。
壹
距离关系
角平分线上的点到角两边距离相等
这种思路,其实是利用了解析几何中最常见的轨迹问题的解法。
只是在涉及到绝对值的时候,需要考虑点与直线的位置关系,来判断代数式的正负。
贰
直线对称
角的两边关于角平分线对称
由图很容易看出,点B关于角平分线的对称点B'一定在直线AC上。
如果能求出点B'的坐标,当然就很容易求得角平分线方程了。
关于对称,在直线这一节里还是一个小重点,应该是每位同学都应该熟练掌握的。
只是,在不知道对称轴(角平分线)的条件下,直接求对称点,应该是不太现实的。
所以,我考虑了下面的几种思路:
这种思路,虽然计算量大了点,但所幸思路还算是简洁。计算的过程,也还是很容易想象出来的。
但为了优化计算过程,我又试着引入了平面向量,确实计算量又少了些。
其实,在上面思路的影响下,还是可以很容易的想到直接用几何法的。
毕竟,直线AC的斜率也是一个很好看的数。
所以说,只要愿意思考,成功的路就不止一条。
如果不愿思考,就一定要经验老道。
当然,这种经验,也可以通过借鉴和记忆。
叁
三角形
三角形角平分线
还记得三角形的角平分线嘛?
三角形角平分线分对边所成两段之比,等于这个角相应两邻边之比。
在这个结论的基础上,便有了下面这种赏心悦目的解法:
所以说,平面向量中的共线定理,在几何中的应用是常见和重要的。
肆
夹角公式
两直线夹角公式
估计两直线夹角公式,现在很多的孩子可能都觉得很陌生了。
其实,要想得到这个公式,思路应该还是很简单的。
至于绝对值的问题,基本上作个图就能判断了。
所以,还是希望学有余力的同学,能够了解一下这个结论。
毕竟,角,是平面几何中一个重要的元素。
伍
内切圆圆心性质
两直线夹角公式
说到内切圆的圆心,一定是它到各边的距离相等了。
应该说,这种方法是最直接的了,
想想,计算量可能还是挺大的。
其实,如果考虑到点与直线的位置关系,绝对值的问题,还是很容易解决的。
那这种思路,其实也是挺好的了。
上面的解法,虽然有些并不能算是很好,但所幸还算全面。
希望能对刚接触解析几何的高二新生,有一定的帮助吧。
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