笔记
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双曲线,是中学数学中最重要的曲线之一,但因双曲线的不同表现形式,使得我们在研究这种曲线时,很难准确把握它们之间的内在联系。今天,我们从最常见的四种不同形式的双曲线,来统一研究一下“双曲函数”,并尽可能寻找不同双曲函数之间共性的东西,以期让我们对双曲线有更加深刻和不一样的感受。
上面这个函数叫反比例函数,应该说,反比例函数是我们接触的第一个双曲函数了,为什么叫双曲函数?主要是因为它的图像是双曲线的原因吧。
这个双曲线,既是中心对称图形,又是轴对称图形。坐标原点是它的对称中心,而直线y=x和y=-x是它的两条对称轴。
最为重要的是,它还有两条渐近线x轴和y轴。
你知道,什么叫渐近线吗?这个双曲线的两条渐近线为什么会是两条坐标轴吗?这两条渐近线又有什么样的性质?
当曲线上一点M沿曲线无限远离原点或无限接近间断点时,如果M到一条直线的距离无限趋近于零,那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
根据渐近线的位置,可将渐近线分为三类:水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线。
其实,曲线的这种特征,我们一般称为收敛。
应该说,形如这种形式的函数,是我们平时接触较多的吧,其实,研究这种函数还是比较简单的,因为它通过裂项(部分分式的化简)后,一定是这个样子的:
所以,它一定是由某个反比例函数的图像经平移而得到的。
就象是下面这个函数:
其实,对于这个函数,如果认定了其图像是双曲线,我们以后是可以用稍简便的方法进行作图的。
因为x≠3,且当x→3时,f(x)→∞,所以x=3为一条渐近线,又y≠4,故y=4为其一条渐近线,双曲线中心为点(3,4),
具体的作图过程是下面这个样子:
这个函数,应该是我们在中学阶段最常见的函数了,当a、b同号时,因其形状象极了老师给我们批阅作业所用的√,所以老师们喜欢叫它“对勾函数”。
其实,它也是一种类似于反比例函数的双曲函数,由图像得名,又被称为
“双勾函数”
“勾函数”
'对号函数'
“双飞燕函数”
因函数图像和耐克商标相似,也被形象称为
“耐克函数”或“耐克曲线”。
总是,是很多人都喜欢的函数了。
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从上面的图像可以看出,对勾函数与反比例函数图像的区别,好象只因为渐近线的夹角发生了变化,导致双曲线发生扭曲,从而不再具备轴对称的特征而已。
对勾函数渐近线的理解:
当x→∞时,f(x)→ax,所以y=ax为渐近线;又x→0时,f(x)→±∞故x=0时(即y轴)为其第二条渐近线。
当a,b异号时,曲线的渐近线依然为y轴和y=ax,但此时y轴左右两侧,函数均为单调,相对来说,降低了研究的难度。
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此时的曲线,依然为扭曲的双曲线。
其实,我们都知道,这个已经不能称之为函数了。
但在解析几何中,它的图像我们明确称作“双曲线”。
当a=b时,我们称双曲线为等轴双曲线,此时两条渐近线互相垂直,就与反比例函数所对应当的双曲线有着极深的关系了。
那我们其实可以这样说,解析几何中的等轴双曲线,其实就是反比例函数图像绕原点旋转45度得到的,
因此,在反比例函数中,也应该有焦距和实轴的概念了,你也可以试着去求一下吧。
其实,从上面对几个常见双曲函数的分析可以看出,要规范双曲线的形状,其实至关重要的是渐近线,而且不同的双曲函数中,渐近线好象都有一个共同的性质,那就是曲线上任意一点到渐近线的距离之积总是定值的。
当然,对于解析几何中的双曲线来说,还有很多其它的知识,需要我们去补充,比如准线及定义,都是非常重要的。
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