是时候和“四心”做个了结了

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曾听不少同学说，

一做三角形“四心”问题，

总感觉心里空落落的，

没有感觉。

确实，

自从有了向量，

三角形的“四心”就变的神秘了。

离高考还有74天，

也是时候和它做个了结了。

01

三角形重心“G”

三角形三边的中线相交于一点

1.重心到顶点距离与重心到对边中点距离之比为2：1。

2.重心和三个顶点构成的三角形面积相等。即：重心到三边的距离与三边的长成反比。

3.重心到三角形三个顶点距离平方和最小。

4.三角形重心坐标是顶点坐标的算术平均。

5.三角形重心的向量式： 

02

三角形外心“O”

三角形三边垂直平分线相交于一点

1.外心到三顶点距离相等。

2.锐角三角形外心在三角形内，

   钝角三角形外心在三角形外，

   直角三角形外心为斜边中点。

3.三角形外心向量式：

03

三角形垂心“H'

三角形三条高线相交于一点

1.锐角三角形垂心是以三个垂足为顶点的

   三角形的内心。

2.三角形垂心H，外心O，则有：

3.三角形任一顶点到垂心的距离等于外心

   到对边距离的2倍。

3.三角形垂心分每条高线两段乘积相等。

4.三角形三个顶点、三处垂足和垂心，

   组成6个四点共圆。

5.△ABC，△ABH,△BCH,△ACH

   有相等的外接圆。

6.三角形垂心向量式：

04

三角形内心'I'

三角形三个内角平分线相交于一点

1.直角三角形内切圆半径：

2.椭圆、双曲线焦点三角形内心：

3.椭圆、双曲线焦点三角形旁心：

4.三角形内心向量式：

典型例题赏析

End