特别说明:
作者水平、精力有限,推文中可能会存在瑕疵。如有发现,肯请大家及时指正,不胜感谢。
写在篇首
中学阶段的三角函数部分,
教材里分为三段:
①三解函数 ②三角变换 ③解三角形
其中,
三角变换的部分,
对很多同学来说还是有点难度的。
不仅因为三角公式的多,
更因为变化过程的繁。
但是,
不知道有没有同学认真体会过,
其实那么多的三角公式,
都有一个大概共通的特点:对称性
当然,
我这里说的对称,
并不是几何中图形的绝对对称,
而是对一类特殊代数式的特殊好感:
加对减、余对正和结构相近
很多人将这种感觉,
叫作“对偶式”。
今天这篇推送,
就在三角函数求值的环境下,
展示下“对偶式”的妙处。
也请在阅读的过程中,
完成两个小任务,
以期提高自己对三角变换的感觉。
①体会三角中的两种常见对偶式:
和差对偶式和互余对偶式。
②比较常规方法与对偶式法,
体会对偶式的优越。
一般而言,类似于Asinx+Bcosx=C条件式下角x的三角函数值问题,都可以考虑构造和差对偶式或互余对偶式处理。
其实,两种对偶式的本质是一样的,都是利用了三角变换中的平方关系。
当然,除了这种构造法之外,常规方法更应该掌握了。
只是这个计算过程,虽不能说不巧妙,但计算量确实还是有点大的。
究其根本,这个例题和例一相比,也只是多了一层面纱而已,掀开了这层面纱,连题型都是一样的。
但因为系数的不同,相较而言用常规解法时,计算过程可能会更加复杂一些。
就象是下面这种计算,虽然过程了了,但也不是所有同学都能很顺利处理的。
上面的常规解法,其实两种方法本质是一样的,还是利用了同角的平方关系。
只不过,结合三角函数的定义,将三角问题转化为一般的代数问题后,学生可能会更加适应些而已。
其实,代数和的问题,如果愿意进一步考虑综合性,很多时候也是可以用向量法去解决的。
为了减少计算量,你也可以从数量积的几何意义去分析两个向量之间同向的隐含关系。
相信两种构造,定会给你不一样的惊喜。
作为初学者来说,谁会想到余弦定理还能够这样玩它呢!
所以说,公式的逆用,才能体现一个人对公式真正的理解和熟悉程度。
按部就班,这题原本应该会这样的:
虽然公式的应用尚算娴熟,但有没有一种头皮发麻的感觉了呢?
这题原本应该是考查积化和差公式的。
因为课后习题的出现,老师们应该都会补充它,但其实也没有多少同学真的能够熟练使用这组公式。不夸张地说,可能有些连记忆都会有问题的。
看到了吗?三角变换法中用到了一个小小的技巧。
以后看到角度呈等差数列的余弦求和,
比如下面这样:
你就可以考虑一下上面的思路,将分子和分母同乘以公差一半的正弦,看看会不会有奇迹出现了
结 语
其实,对偶式法不仅在三角部分可以使用,在很多代数式具备类似对称的特征时,都可以尝试着使用,相信很多时候可能真的会给你意想不到的结果。
不信试试这个网红题:
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