前几天讲函数的单调性了。
作为函数最重要的性质(没有之一),总觉得还是要再强调下。
虽然书中说的很直观,但毕竟要将它应用于解题,对于高一新生来说,还是有一定难度的。
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概念辨析
一.定义:
①增函数:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数。
②减函数:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数。
二、理解:
①图像直观:
增函数:从左向右看,图像是上升的;
减函数:从左向右看,图像是下降的。
②数量直观:
增函数:自变量越大,函数值越大;
减函数:自变量越大,函数值越小。
③动态直观:
减函数:图像上的点越往右越低。
增函数:图像上的点越往右越高;
三、特别提醒:
①认准自变量的任意性:
比如:不能因为f(3)>f(1)而确定f(x)在含有1、3的区间内是递增的。
②写好多个单调区间:
单调性相同的几个区间之间不能用并集。
如下图所示的函数,可以说函数在区间(-2,1)和(3,5)上单调递增,但不能说函数的单调增区间为(-2,1)∪(3,5)。
若要写出上面函数的单调增区间,
应写成“单调增区间为(-2,1)和(3,5)“。
③认识两种单调等价性:
函数y=f(x)单调递增:
f(x1)>f(x2)x1>x2
函数y=f(x)单调递减:
f(x1)>f(x2)
x1<x2④规范证明五个步骤:
设值:令x1,x2∈D,且x1>x2(或x1<x2);
作差:(或作商):f(x1)-f(x2);
变形:变形方式主要方式为因式分解、
配方和根式有理化;
定号:确定f(x1)-f(x2)的正负;
下结论:确定f(x1)与f(x2)的大小,
从而确定函数单调性。
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单调性判定
现阶段,函数单调性判定主要有两种方法:图像法和定义法,有时也可以利用单调性的运算法则进行判定。
单调性运算法则是指:
"增函数" + "增函数"═增函数
"减函数" + "减函数"═减函数
"增函数" – "减函数"═增函数
"减函数" – "增函数"═减函数
法则成立前提:在两个函数公共区间内成立。
附:图像解析
对称轴在区间左边
对称轴经过区间
对称轴在区间右边
动态图形说明
图像法是研究函数性质最直观的方法,对于函数单调性更是如此。
因此,要熟练掌握一些常见基本初等函数的作图要领,在应用其解题时,才会让自己更加的游刃有余。
附:“对勾函数”与其倒数
如果不能做出函数的图像,则可以考虑用单调性定义去进行判定,但须注意五个步骤的完整性,尤其是作差后的代数变形是关键,不可省略。
当然,并不是所有的函数都能用定义或图像来判定单调性的,在后续会介绍更一般性的方法——导数法。
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单调性与参数范围
附:动态图像分析
附视频讲解:
你也练练手呗:
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单调性与不等式
附视频讲解:
抽象不等式的处理,首先要考虑将其变化为具体不等式。主要途径有两二:
①已知解析式,代入即得具体不等式;
②未知解析式,借助单调性消对应用法则f得具体不等式。
5
单调性定义等价性
(答案见下方视频讲解)
视频讲解:
附标准答案:
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单调性与方程
其实,研究函数单调性的最终目的,主要是为了求得函数的最大(小)值。
毕竟,函数的最值才是我们追求的最终目标。
所以,单调性的一个重要应用,就是求函数最值。
如果你注意观察所做过的习题,就会发现,大部分与函数相关的问题,都会涉及到求函数的最值。
但限于篇幅,最值的求法,本次不做说明,令做专题讲解。
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