不知道洛必达法则到底是有多让人牵挂，
最近总有网友在后台留言，
都是最豪横的三个字：
洛必达，洛必达！
当然，
作为一个面冷心热且严谨的人，
虽然写它觉得还有不少顾虑和担忧，
但还是默默地拿了起高数，
偷偷地再一次做了认真的温习。
因为，
实在忍不住，
今天就准备讲讲这个洛必达了！
而对它理论的理解，
总觉得还是要更谨慎点，
并且尽量能够用最朴素的语言，
讲清楚并说明白。
要说到洛必达，
就不能不说下导数的定义了。
关于导数概念，
对于凡事喜欢逐源的我来说，
总觉得教材的编排，
真是太过小心了些。
至于为什么？
看下导数定义的生成过程，
就知晓了。
导数的定义，
教材从熟悉的路程与时间的函数式着手，
分解成了三个环节：
平均变化率→瞬时变化率→导数
平均变化率
从定义上不难看出，
这个平均变化率，
相当于物理中的平均速度了。
如果用数学中的量来表示，
应该相当于曲线的一条割线斜率。
瞬时变化率
同样的道理，
这个瞬时变化率，
就相当于物理中的瞬时速度，
从数学角度来说，
相当于曲线在某点处的切线斜率。
只是定义中的那个“趋于某个值”，
在具体实例中，
虽没太多疑问。
但总觉还是缺了点理论上的支撑，
而让人有了太多想象的空间。
仅右逼 近
是只须这个样子……
仅右逼 近
还是仅须这个样子？
左右逼 近
还是必须这个样子呢……
虽然有疑问，
但幸好有一点还是可以肯定的：
从图像上感觉，
那“某个值”一定就是切线斜率。
“导数”定义
唉，
对于那“固定的值”，
教材依然还是欲说还休的样子，
不过还是小心地，
在教材的备注页上，
做了一个简单的说明：
所以说，
极限这个东西，
在中学阶段的地位，
也确实是很委屈很尴尬了：
想要用它解决问题，
却又极不愿意让同学知道它。
也让我想起了某些公众号，
想转载别人推文，
却又总是遮遮掩掩的，
不愿标注文章来源。
因为要讲洛必达，
觉得还是应该讲清楚极限的。
函数的极限
其实关于函数极限，
有自变量趋于有限值和趋于无限值，
两种情况。
自变量趋于有限值时的极限：
这是高数中极限的定义，
这种描述，
总会叫人望而却步的。
所以总觉得，
还是文字描述更让人舒心。
就像是下面动图中，
当x从x0的左右两侧同时逼近x0时，
函数值都无限逼近同一个固定值A，
这个A就是函数在点x0处的极限了。
函数极限
那么，
如果x是从x0的某一侧逼近呢？
就像是……
右极限
左极限
所以，
极限还是要分左极限和右极限的，
当x从x0的右侧无限逼近时，
如果函数值无限逼近一个固定值A，
这个A叫做函数当x→x0时的右极限，
记作：
当x从x0的左侧无限逼近时，
如果函数值也无限逼近一个固定值A，
那么这个A就叫做函数当x→x0时的左极限，
记作：
可是，
如果出现了下面这种情况：
极限不存在
当点x→x0时函数的左右极限不相等，
左右为难时，
就说函数当x→x0时极限不存在了。
其实，
上面的极限不存在，
主要还是因为图像在x0处断了。
嗯，
断了，断了，
这样的函数我们一般称它是不连续的。
而对于连续函数来说，
很显然的，
除了定义域的区间端点，
函数在每一点处的极限都是存在的。
而且函数当x→x0时的极限，
就是函数在该点处的函数值。
对于这种理解，
我一般是这样描述的：
就像是
直接代入而已！
而自变量趋于无限值时的极限，
其实理解起来都是一样的：
就像是：
一样的容易理解。
所以这种情况，
就不再啰嗦，
你可以凭借自己的感觉行事的。
但是对于两个函数f(x)和g(x)的比值来说，
经常会出现当x→a(或x→∞)时，
f(x)与g(x)都趋于零或无穷大，
此时f(x)/g(x)的极限可能存在，
但也可能不存在。
通常这种极限叫未定式。
。
而对于这类极限的处理，
就要用到我们今天等了很久的，
洛必达法则了。
洛必达法则
将x=a代入式中，
如果分母为零、分子不为零，
极限显然为无穷大了；
而如果分子为零、分母不为零，
则极限显然为零。
但如果分子、分母同时为零时，
则极限可能存在，
也可能会不存在，
也就是前面提到的未定式了。
那么，
这个定理就告诉我们，
x=a代入分子、分母同时为零时，
可以通过对分子、分母分别求导，
再代入x=a去确定未定式的值。
这种求极限的方法，
就是传说中的洛必达法则了。
而且照着这种思路，
但凡是出现分子、分母同时为零的情况，
可以一直通过求导的方法，
一直洛、洛、洛……下去，
直至x=a代入后能求出具体值为止。
就像是：
所以说，
洛必达，
必达！
而且，
无论是x→∞时的未定式0/0，
还是x→a或x→∞时的未定式∞/∞,
都可以类似的，
用洛必达法则求得极限值。
比如：
其它诸如：
0·∞、∞-∞、00、1∞、∞0型未定式，
都可以通过洛必达法则进行类似计算。
如果只是求个极限，
中学为什么要知道洛必达？
毕竟高考不考它！
但其实，
你还真的想错了！
中学里最常见的参数范围问题，
就最有可能会用到洛必达的。
遇到这样的题，
是不是想也不想就会用参变分离了？
毕竟参变分离后，
就转化为最熟悉的函数最值了。
只是，
有时候是不是也要担心下，
如果是开区间上的最值，
如果恰巧又在端点处取得最值，
自变量不能代入，
那又该怎么办？
这个解题思路算是最常规的了吧？
只是真得像预测的一样，
参变分离后所得函数的最值，
真的取在端点处了！
那么又该怎么求得最小值呢？
在这里，
你看见红色洛必达的大显身手了么！
当然，
有老师会说了，
洛必达法则高考是不能直接使用的！！！
确实，
这么高端的东西，
如果高考就这样让你得满分了，
天理何在，
对其他不爱钻研的学生，
又怎么体现公平呢？
所以，
老师才说，
参数范围问题，
要时刻做好分类讨论的。
但是想想，
用分类讨论的方法，
讨论了半天才得出的结果，
用洛必达一步就完成了。
不仅提高了正确率而且节省了大量时间，
又愉悦了身心，
如果步骤确保没问题，
就算扣了两分，
也绝对算是不吃亏的吧。
而且真的，
分类讨论的这个长度，
是不是让你也有用洛必达的冲动了呢？
当然，
不用洛必达时的过程也有很短的，
就像那一年高考题的解法：
说真的，
就算是2010年，
用到切线不等式还是可以理解的，
何况按照解题的规律，
第一问的结论可能在第②还会用上呢！
可是解答中红色部分的那种姿态，
真的确信大部分同学能想到么？
估计就是数学老师自己，
也觉得那种思路有点神来之笔吧!
所以，
还是应该看下洛必达法则的大显神通。
从这两个题的解法来看，
凡是参数范围题，
如果参变分离很容易，
还是尽量分离为好。
但如果分离后需要用到洛必达，
真的还是要特别注意的：
如果考前老师特别强调高考认可洛必达，
你就可以放心大胆的使用了，
之所心这么说，
是因传听说有些地区高考已经认可了。
如果所在省的高考阅卷不认可
估计用它只能得到可怜的结果分吧。
虽然可以节省很多时间，
算算也还是亏的慌。
所以，
老老实实练好分类讨论，
本本分分得些步骤分，
对于备考来说，
才是最切实可行的。
看来，
洛必达虽好，
可不要仅贪必达哦！
所以说，
最好的洛必达，
却是最悲催的
在研究函数图像的时候，
洛必达也同样是让人觉得最爽朗的。
嗯，
现在想想，
讲导数的时候，
老师有没有让我们记住六个图像？
可你知道为什么，
函数y=xlnx的图像，
是下面这个样子的么？
当然，
聪明人应该都猜到，
我想说的是x→0时的状态。
原因当然是因为洛必达了！
所以，
除了求参数的范围，
还有一些函数图像题，
可能会用到洛必达，
去判断图像的大概走势。
这种图像题是不是很常见？
是不是从对称性并结合代点就可以搞定？
可是不给你具体坐标做参照了，
x轴光秃秃又怎么办？
象上面的分析一样，
困难时，
当然就该洛必达大显身手了！
所以说，
高考还是会考洛必达的，
只是考查的方式，
可能会随着高考对它的要求不同，
而采取不同的形式而已。
但是最不济的，
也可以考考极限的感觉吧。
就像是这个样子的：
要说到洛必达在中学中的应用，
最重要的，
也应该是这两个方面了。
但是切记得，
解答题中使用一定要慎重。
作为一线数学教师，
还是建议同学和老师都要练好内功，
熟练掌握利用分类讨论的方法求参数范围。
当然，
更希望洛必达能早日登上高考的舞台，
否则时日逾久，
估计洛必达会敲他的盖板了。
END
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