走近数学（7）

—— 数学与智慧之六（更换主元）

冯跃峰

本文介绍数学中“更换主元”的思维方式，在生活中的具体应用。

所谓“主元”，就是问题所包含各种元素中起主导作用的元素。通常，我们所遇的问题中，题目的条件或目标已经有意无意地设定了某个“主元”，所谓“更换主元”，就是要打破这一思维定式，从一些隐含的或者看似微不足道的要素中，发现新的主元，开辟解决问题的新思路。

下面的现象，可以很好地诠释更换主元的意义。

——迷路的蜻蜓在房间里拼命地飞向玻璃窗，打算到那海阔天空的地方去。它瞄准了透过玻璃窗照进来的那一片光明，义无反顾地飞过去，但每次都碰到玻璃上，必需挣扎好久才恢复神智，然后在房间里绕上一圈，再鼓起勇气又朝着玻璃窗飞去。当然，它仍是“碰壁而回”。其实，旁边的门是开着的，只因那边看起来没有这边亮，它就未曾想着去试试那个门。

这个事实告诉我们，那些看似不起眼的东西，也许才是解决问题的关键，这就是“更换主元”的要义所在。

下面用具体例子来说明，先看几个众所周知的故事，它们都是更换主元的经典范例。

例1、牛顿发现万有引力定理。

众所周知，牛顿在苹果从树上掉下来这一司空见惯的现象中，发现了地球引力，进而发现了万有引力定理。那么，这一重大发现，其核心智慧是什么呢？

苹果从树上掉下来，砸到头上，一般人都会这样思考：我为什么被苹果砸到？其观察的着眼点是人（我），思考的核心是人处的位置，考虑以后怎样就不会被砸到。但牛顿的观察着眼点则与之绝然不同，其着眼点是苹果的运动方向，思考的是苹果为什么会垂直地往下掉，关注的核心则是促使苹果运动的力。

因此，从数学的角度看，牛顿发现地球引力的智慧，本质上来源于日常生活观察与思考中“主元”的更换，由“旧主元”：苹果、我，更换为“新主元”：运动方向、产生运动的力。

例2、瓦特发明蒸汽机。

瓦特受水壶中烧开了的水冲动了壶盖这一现象的启发，发明了蒸汽机。水壶烧水这一现象几乎是人人习以为常的，为什么别人没有得到什么启发，而瓦特却有意外的收获呢？

这是因为，一般人看到的仅仅是：水烧开了。其观察的着眼点是水，关注的是壶盖是否发出了响声。但瓦特的着眼点则绝然不同，思考的是壶盖为什么会啪啪地响，观察的着眼点是蒸汽，思考的核心则是蒸汽产生的力。

因此，从数学的角度看，瓦特发明蒸汽机的智慧，本质上来源于日常生活观察与思考中“主元”的更换，由“旧主元”：水、壶盖，更换为“新主元”：蒸汽、力。

例3、司马光砸缸救人。

7岁的司马光和小朋友在花园里玩耍，花园里有花有树还有假山，大家你追我赶，玩的很高兴。一个调皮的小男孩爬到了假山上，一不小心掉进了假山边上的大水缸。水缸里满满的都是水，小男孩被吓到了，在水里挣扎着，大声喊救命。大家惊慌失措，都不知道该怎么办，有的胆小的孩子都吓得哭起来。

只见司马光急中生智，搬起水缸旁边的石头使劲砸向水缸。水缸被砸破了，水流了出来，小孩终于得救了。

这个家喻户晓的司马光砸缸的故事，不仅说明了司马光有过人的智慧，更说明司马光有不同常人的独特思维方式。按一般的思路，应对“人落水”的策略，其着眼点是“人”，思考的核心是考虑如何将人从水中“捞”出来，产生的实际效果是人动，水不动。但小孩因个头矮小，力量也不够，以至无法采用“捞人”的方法。因此，司马光所采用的应对策略是——砸缸，其着眼点是“水”，思考的核心是考虑如何将水“去掉”，产生的实际效果是水动，人不动。水流干了，人得救了。

因此，从数学的角度看，司马光砸缸救人的智慧，本质上来源于日常生活观察与思考中“主元”的更换，由“旧主元”：人，更换为“新主元”：水。

顺便说一句，司马光砸缸救人，也可以看作是一种“逆向思维”的运用：将“向上运动”（人向上移动，人离开水）更换为“向下运动”（水向下流出，水离开人）。这一理解虽有一定的道理，但较为勉强：因为离开了思考对象“人与水”的更换，其方向的更换就无从谈起。所以，它本质上还是“更换主元”，至于方向的更换，只是其外在表现形式而已。不知您的看法如何？

下面再举两个有趣的例子。

例4、1994年，我国发明家苏卫星发明了“两向旋转发电机”，该发明在同年8月获中国高新科技杯金奖，并受到联合国TIPS组织的关注。1996年，丹麦某大公司曾想以300万元人民币买断其专利，可见其发明价值巨大。

“两向旋转发电机”是怎样发明的呢？我们知道，发电机的基本构造，主要由一个定子和一个转子构成，其中定子不动，转子则绕定子转动，从而切割磁力线产生电。

而苏卫星发明的“两向旋转发电机”，不仅转子运动，定子也逆向转动，从而使发电效率比普通发电机提高了四倍。

显然，该发明的智慧，来源于相关“主元”的更换。我们将转子看成主元，普通的发动机只有一个主元，而“两向旋转发电机”则有两个主元，单向运动变成双向运动，从而发电效率大大增加。

例5、一对夫妇带着一个五岁的儿子一起寻找出租屋，好不容易找明了一处满意的地方，一家三口前去洽谈。不料房主是一位老人，喜爱清静。他见租房者带有小孩，马上说：“我的房子不租给有孩子的住户”，说完就关上了门。

父母听了，非常失望，拉着孩子一步三回头地往外走。突然，孩子挣脱了父母的手快步往回跑，父母还没有明白是怎么回事，他已跑到那房子的门前，用那稚嫩的小手重重地敲着门。门马上开了，老先生见是刚才那位小孩，便问：“小朋友，你有什么事啊？”

“老爷爷，您是天下最好的爷爷，您的房子是天下最好的房子！请把它租给我吧”。

老先生回答说：“可是我说过了，我不租给有孩子的家庭。”

“这我知道。”，小孩接着说：“你看我没有孩子，只有爸爸和妈妈！”

老先生听罢，笑得弯下腰把孩子抱了起来，亲了父亲：“你真是太聪明，太可爱了……”

不用说，房子租成了！

此处，小孩的思维相当敏锐，更换了“租房客”这一对象（主元），将父母租房换成小孩租房，从而绕开了“租房客有小孩”这一陷阱，既幽默可笑，又充满童趣。

当然，这一幽默并非小孩故意为之，因为从小孩的角度理解，他认为只要是人就可以当住户，不必遵守“租房客必须是成年人”这一规则，这才有了上面的说辞。

下面看一则幽默笑话。

例6、两个小伙子一同观看杂艺表演。当看到一个少女与一头狮子接吻的表演时，其中一个人赞叹道：“真不简单，好危险啊！”

另一个却不以为然地说：“这有什么大惊小怪的。”

对方追问： “你敢试试？”

另一个脱口答道：“当然敢，你把狮子赶开，我来。”

显然，对方的原意是“少女”处在“狮子”攻击的危险之中，这里产生危险的主元是“狮子”。而另一个人通过“赶开狮子”的指令，巧妙地把危险的因素（主元）篡改为“少女”，从而产生幽默效果。

令人遗憾的是，这则幽默，有“灰色”之嫌，因为“吻一个陌生的少女”，这在法理上是不允许的。即使不被当成非礼，但至少也是一种冒犯。

对上述对话情节，能否设计一个新的应对方案，避免出现“灰色”尴尬呢？我们草拟了如下一个方案，供您参考——

另一个人可以这样回答：“我当然不敢，但她的男朋友却是经常对她这样做。”

这个回答能产生同样的幽默效果，却有效避免了“虚拟强吻”陌生人的尴尬。

最后介绍我们编拟的一段“面试”小幽默。

例7、某艺术学院招生，进入面试阶段，众多获得面试资格的人在一个大厅内同时接受面试。考试采用抢答的方式，每题答对得10分，答错扣10分。

其中有这样一个测试题：

面试老师拿出一把琵琶，特别提醒考生：你们要认真听哦。随即胡乱弹了一通，曲也不成曲，调也不着调。然后问考生：“我刚才弹的是什么？”

众生面面相觑，如坠云里雾里，谁都不敢抢答。

这时，其中一个学生突然站起来，兴奋地喊道：“琵琶。”

这个学生成为第一个被录取的学生。

显然，对于主考老师的提问，一般都会理解为“我弹的曲目是什么？”，其主元是“曲目”。这里，主考老师巧妙地将主元更换为“弹奏的乐器”，出人意料，从而产生幽默。

当然，这种测试，在现实中也是可行的，它考察的是应试者的临场应变智慧。