走近数学（5）

—— 数学与智慧之四（归纳通式）

冯跃峰

本文介绍“归纳通式”在生活实际中的应用。

所谓“通式”，就是合乎所有对象特征的一个统一表达式。通过观察各个对象的特征，归纳出通式，借以发现相关问题的性质，是数学中解决问题的常用策略。

下面介绍这一思想方法在生活实际中的应用。

先看下面一个著名的逻辑问题：

例1、在某地有A，B两个村庄，A村的人都说真话，B村的人都说假话。说真话者句句为实，说假话者句句非真。

今有一人甲要到A村去，行至一个分叉路口，不知哪条路通向A村。碰巧迎面走来一个人乙，甲已经知道，乙要么是A村人，要么是 B村人，但不知道他究竟是哪个村的人。

现在，甲有一次向乙提问一次的机会，而乙则一定会回答甲所提出的问题。试问： 甲应提一个怎样的问题，才能从乙的回答中判断出去A村的路线?

我们从数学的角度来思考这一问题。

先考察解题的目标。甲向乙的一次提问，要产生这样的效果：使乙不论是A村人还是B村人都会作同样的回答。

这实际上就是要找一个“通解”，因此，可作这样的设想：

这表明，A村方向相对于A村的人而言是“真实方向”，而相对于B村的人而言是“虚假方向”。

因此，若乙∈A，则应问去A村方向；若乙∈B，则应问去B村方向。

将其共同特征抽象出来，按数学的“通式”表达方式合并为一个式子：乙∈X村，则问去X村的方向（其中X=A或B）。

至此，即可发现如何提问了。一个适合的提问是：去你所在的村庄应走哪条路?

不过，此题原来的解答中给出的提问是：“你是从哪条路来的?”

这个解答似乎存在漏洞：因为要由这个提问判断去A 村的路线必须有一个前提，即从A村来的必是A村人，从B村来的必是B村人。

但实际情况并非一定如此。比如，乙可能是A村人，刚刚去B村办事，现在返回。而我们这里的提问则不存在这样的漏洞。

我们再看一个我国历史上的例子。

例2、文成公主(公元625-680年),是唐朝宗室女,多猜测其父为江夏郡王李道宗。贞观15年(641年)正月十五,唐太宗将文成公主下嫁吐蕃王朝立国之君松赞干布。从此，中原与吐蕃之间关系极为友好,使臣和商人频繁往来达200多年之久。

据说,文成公主与松赞干布成婚前,有下面一段佳话。

文成公主既聪明又美丽,许多人向她求婚。面对众多的求婚者，文成公主提出了一个允婚的条件:谁能提出一个难倒她的问题，她就嫁给谁。

众多的求婚者虽然提出了许多稀奇古怪的问题，但文成公主都对答如流。他们都是高兴而来,败兴而归。

松赞干布知道后，决定设置一个“殊途同归”的问题，逼其就范。他见到文成公主后，恳切地对她说:“请问公主，为了使您成为我的妻子，我应该提什么样的问题才能难倒您?”

聪慧的文成公主听后，二话没说，就应下了婚事。

文成公主不得不答应这桩婚事，是因为松赞干布的问题，相当于得到一个“通式”：无论公主如何回答，都只能答应成为他的妻子。

实际上，如果公主能告诉松赞干布一个可以难倒她的问题，那么松赞干布就可以用该问题难倒文成公主,使公主成为他的妻子;

如果公主不能告诉松赞干布一个可以难倒她的问题，那么,松赞干布的这个问题就难倒了公主,公主也得成为他的妻子。

下面是一个国外的例子，与之有异曲同工之妙！

例3、古希腊有个国王，一次想处死一批囚徒。那时候，该国处死囚徒的方法仅有两种：一种是砍头，另一种是用绳绞死。

国王派刽子手向囚徒们宣布道：“国王陛下有令，让你们任意挑选一种死法：你们可以任意说一句话——如果说的是真话，就绞死；如果说的是假话，就杀头。”

反正是一死，许多囚犯顾不得多想，都随意地说一句话。结果，或是被绞死，或是被砍头。

在这批囚徒中，有一个很聪明的人。当轮到他来选择处死方法时，他忽然巧妙地对国王说：“你们要砍我的头！”

国王一听感到很为难：如果真的砍他的头，那么他说的话是真话，而说真话是要被绞死的；但是如果要绞死他，那么他说的“砍我的头”便成了假话，而假话又是应该被砍头的，但他说的却不是假话。

他的话既不是真话，又不是假话，也就既不能绞死，又不能砍头。国王只能挥挥手把他放了，那条奇怪的法令也就马上被废除。