【老师来稿】中线的妙用

来稿时间：2015年8月13日

稿件等级：C级

　　各位同学，相信大家对中线的概念很熟悉吧。但真正把它发挥到淋漓尽致的学生却很少。下面我就为同学们上一堂巧用中线的课，为迎接好初三上学期特殊平行四边形提供巧妙的解题思路。

　　什么是中位线呢？中线：三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。特别指出的是：在直角三角形中：斜边的中线等于斜边的一半。这个概念也常用来证明三角形为直角三角形的。下面我们来看两道相关题型。

　　如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO．

　　解析：许多同学一看这个题目，题干字数少，以为很简单，于是不分析清楚开始着手证明，却发现并不容易证明。其实这个题目非常简单的。特别要注意的是菱形的对角线的交点就是中点！因此HO即为中位线，那么在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，因此HO=BO=DO，分析到这道题就很容易证明了。

证明：由题意可知：

　　∵DC//AB 　　∴∠BAC=∠DCO

　　∵DH⊥AB 　　∴∠DHO+∠OHB=90o

　　∵AO⊥DB 　　∴∠BAC+∠ABO=90o

　　∵HO=BO 　　∴∠OHB=∠ABO

　　∴∠DHO=∠BAC

　　∴∠DHO=∠DCO

　　点评：这里运用了直角三角形斜边中线的性质，通过角的等量代换，达到证明的目的。

　　如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点，不与B,C重合，EF垂直AB,EG垂直AC,垂足分别为F，G。

(1)求证，

(2)FD与DG垂直么？若垂直请给出证明

　　解析：在这道题目中，第一问里面是证明线段的比例的关系，因此可以从三角形相似寻找突破口。不难发现△ADC∽△EGC,因此第一问证明就出来了。第二问难度就有所提升。从图形上看FD与DG应该是垂直关系。单纯从角度证明是很困难的，从相似出发也是不太容易证明的。细看题干，容易得出四边形AFEG是矩形。因此链接AE，与EG交于点O，连接DO，那么问题就迎刃而解了。

证明（一）：略

证明二：连接AE，交FG于点O，在连接DO。

　　∵由题意Rt△ADE的中位线

　　∴DO=AE

　　∵AE=FG

　　∴DO=FG

　　∴三角形DFG为直角三角形

　　∴FD⊥DG

　　点评：此题通过利用矩形对角线的交点为中点转化成三角形的中位线，进而达到证明目的。