已知抛物线y2=4x及点P（2，2），直线l的斜率为1且不过点P，与抛物线交于点A，B，（1）求直线l在y轴上截距的取值范围；（2）若AP，BP分别与抛物线交于另一点C、D，证明：...

（2008?佛山二模）已知抛物线y²=4x及点P（2，2），直线l的斜率为1且不过点P，与抛物线交于点A，B，
（1）求直线l在y轴上截距的取值范围；
（2）若AP，BP分别与抛物线交于另一点C、D，证明：AD，BC交于定点．

专题：计算题．

分析：（1）设直线l的方程为y=x+b（b≠0），将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合方程有两个实根的条件：△＞0，解决问题．
（2）设A，B坐标分别为(

，m)，(

，n)，因为AB斜率为1，得出m，n的关系式，再结合B、P、D共线，利用直线斜纺的关系得直线AD的方程，最后令x=0时，即直线AD与y轴的交点为（0，2），同理可得BC与y轴的交点也为（0，2），从而解决问题．

解答：解：（1）设直线l的方程为y=x+b（b≠0），由于直线不过点P，因此b≠0
由

y＝x+b

y2＝4x

得x²+（2b-4）x+b²=0，由△＞0，解得b＜1
所以，直线l在y轴上截距的取值范围是（-∞，0）∪（0，1）
（2）设A，B坐标分别为(

，m)，(

，n)，因为AB斜率为1，所以m+n=4，
设D点坐标为(

yD2

，yD)，因为B、P、D共线，所以k_PB=k_DP，得yD＝

8?2n

2?n

＝

直线AD的方程为ym＝

yDm

yD2

)
当x=0时，y＝

my D

yD+m

＝

2m2

2m+m22m

＝2
即直线AD与y轴的交点为（0，2），同理可得BC与y轴的交点也为（0，2），
所以AD，BC交于定点（0，2）．

点评：本小题主要考查抛物线的标准方程、直线的方程、线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想．属于基础题．

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