【题记】
中医之路由博而简,由杂而精,由繁而专,勤于一艺,临床参悟,积数年可达于上工圣手,切毋矜所能,饰所不能,毋嫉人能,形所不能,勤求古训,持之以恒,必成器。——电视剧《老中医》
学医而不读《黄帝内经》之《灵枢》《素问》,则不明经络,无以知治病之由;不读《伤寒论》《金匮要略》,无以知治方之法,则无从施治;不读《本草纲目》,无以知花之性,而得药之性,再尽人之性,终可去疾除病。——电视剧《老中医》
《小学数学教师》2019年第2期封面人物是江苏苏州缪建平老师,该期以《培养“儿童数学家”》为主题推介缪老师的教学理念与实践做法。今天是第四篇《盘活资源,循序渐进,教学相长:“羊吃草问题”教学的一路探寻》。
第一篇的链接:培养“儿童数学家”之推介语——《小学数学教师》封面人物专题之一
第二篇的链接:在“好奇”中求知,在“探究”中成长:培养“儿童数学家”的“五四三工程”——《小学数学教师》封面人物专题之二
第三篇的链接:生变,聚变,裂变:以引导学生探究“把一张长方形纸折出”为例——《小学数学教师》封面人物专题之三
【正文】
“羊吃草问题”的探究学习活动是在学生学习完圆的面积(包括扇形面积)之后进行教学的。这里的“羊吃草问题”与现行奥数书常讲的“牛吃草问题”不是一个学习内容。
工作初期,笔者就开始关注这一话题,经过多年的探索与实践,逐步形成了系列化研究。
一
记得第一次把“羊吃草问题”加入课堂教学中,还是工作的第一年,看到教学资料上有这样一道题:
一片大块的青草地,一只羊拴在羊桩上吃草,羊绳长5米,羊能吃到的最大草地面积是多少平方米?(不考虑羊绳会缠绕的情况)
当时的直觉告诉我,这道题十分接近农村孩子们的生活实际,又与新学的圆面积知识紧密联系,于是就把它放入课堂练习环节中。真没想到,孩子们十分感兴趣,在兴致勃勃的练习中巩固了所学的知识。
二
在学习了“扇形面积”之后,我又加入了新的元素,于是出现了下面的令我难忘的教学片断——
师:(幻灯出示问题)这道题怎样解答?
生:羊拴在桩上,吃到的面积是最大时是一个圆的面积,半径就是绳长。列式是:3.14×52=78.5平方米。
师:你回答不错。但是,有没有其它情况呢?
生:刚才×××只是解答了把羊拴在离院墙5米以外时的情况。如果拴羊桩在5米以内,就不能这样解答了。
师:你真会动脑筋。现在请同位的同学讨论一下,如果拴羊桩在5米以内,有哪几种情况呢?(学生热烈讨论了数分钟)现在请大家回答。
生:把羊拴在一长院墙脚下,吃到的草就是一个1800的扇形面积。列式是:3.14×52×1/2。 (老师出示灯片,并肯定学生的回答。)
生:如果正好拴在外墙角, 则羊吃到的面积正好是2700的扇形面积,列式是:3.14×52×3/4。 (老师出示灯片,又肯定学生的回答。)
生:老师如果羊拴离院墙3米的地方,怎样算出羊吃到的面积呢?
师:(出示这种情况的灯片)这种情况也能算出羊吃的面积,但计算比较复杂。到了初中,你们就会学到有关计算的公式了。现在我请一个同学来总结一下这道题出现的几种情况。
“学生的思维从疑问和惊奇开始”。在这个教学案例中,我采用“以新带旧,纵横联系”的教学方式,精选了一个日常生活中的趣味问题,精心设疑,让学生运用所学的知识,通过讨论,发散思维,终于解疑。
“重复是学习之母”。根据教育心理学有关“遗忘先快后慢、巩固要在将要遗忘时进行”的遗忘规律,复习必须及时、适时。本复习安排在“圆的面积”学习一周后、“扇形面积”刚刚学习结束时进行,时机恰当,这样既巩固了新近学的扇形面积,又复习了一周前学的圆的面积,知识融会贯通,相得益彰,学生所学知识印象深刻。
这一段教学案例被写入《减少小学生几何初步知识遗忘率的教学探讨》一文,发表于1991年第11期《陕西教育》上,后被收录中国人民大学复印报刊资料《小学各科教学》1992年第1期。
三
上述两个案例的教学,也证明了“羊吃草问题”的有让学生展开探究学习的空间,于是,我决定把这一问题继续引伸拓展,让它更加“枝繁叶茂”。
记得是新课程改革的第二年,2002年4月,苏州。教学前,我为孩子们准备了火柴梗(用来代表羊桩)、铅丝(用来代表羊绳)、方盒子(代表院墙)。也许是城市的孩子们对农村题材的内容不感兴趣,或是因为提供的操作器具不合适,孩子们在课堂上把铅丝弄来弄去,并没有很好地理解题意,动手操作没有发挥我预想的作用。当时,动画课件正在流行,于是,在信息老师的帮助下,笔者设计了“羊吃草”互动的课件,并让学生分小组进行探究。
教学片断:
青青家养了一只大山羊。这一天,她把山羊拴在边长6米的正方形院墙下吃草,已知羊绳长2米,那么羊能吃到的面积是多少平方米?(如下图,每个号码之间的间隔是1米)
(1)如图,把羊拴在院墙的正中央(即③号位置),这时羊吃到草的面积是多少平方米?
[因为羊吃到的面积是一个半圆形,所以羊吃到草的面积是:π×22÷2=2π=6.28(平方米)。羊桩在②号和④号位位置时,吃到的面积与③号位是一样的。]
(2)如图,如果把羊桩向左(右)边挪动3米,羊吃到的面积又是多少平方米呢?(即羊桩在上图的0号和⑥号位置)
[移动3米,正好在外院墙角的位置。这个问题上面已经讨论过了,也容易算出羊吃到的草的面积是:π×22÷4×3=3π=9.42(平方米)。0号和⑥号位置,羊吃到的面积是一样的。]
(3)如图,如果把羊桩向左(右)边挪动2米,羊吃到的面积又是多少平方米呢?(即羊桩在上图的①号和⑤号位置)
[羊除了原来吃到的半径是2米的半圆面积外,还能拐过墙角另一边吃到一部分草,它是一个半径是1米的90度的扇形面积。这样,羊能吃到的草的总面积就是:6.28+3.14×12÷4=7.065(平方米)。羊桩在图中①和⑤号位置吃到草的面积是一样。]
之后的一段时间,“羊吃草问题”已成为学校数学组争相教给学生的一堂有趣而好玩的课,各种衍生版本与拓展好题也应运而生,就连孩子们也加入了编题、出题的队伍!
在下面的介绍中,教学具体过程略过,只保留变式的探究问题。
【变式题一】哇,原来羊吃到了一只“大苹果” !
青青家养了一只大山羊。这一天,她把山羊拴在边长3米的正三角形院墙下吃草。羊被拴在等边三角形建筑物的一个墙角上(见下图黑点处),绳长是4米。那么,求羊所能吃到的青草的面积是多少平方米?
经过同学们的探究,最后发现,羊吃到的草的面积如下图所示,应该是一个半径3米的3000扇形面积,加上两个半径1米的1200的扇形面积。
同学们通过探究,结果如下:
羊吃到的面积=32π×
算着算着,有一个同学们惊讶地叫起来说:“老师,你看,羊吃到的面积很像一个苹果呢!”于是大家一起欢欣跳跃,太好玩了!太好玩了!羊吃了一个“大苹果”!
【变式题二】羊吃到了更大的“苹果”
如下图,还是那个边长6米的正方形院墙。但是不同的是,院墙外四周全是足够大的草地,羊仍然拴在如下图一院墙正中央吃草,但绳长增加到12米。这时,山羊可吃到的草的面积是多少平方米呢?
同学们以小组为单位自行探究。因为情况比较复杂,有的同学还在纸上画出的草图。
羊吃草时,先以半径12米吃了个半圆,接着以半径9米吃了两个面积相等的对称的扇形,最后又以半径3米再吃到两个对称的小扇形面积。
这样,山羊的活动范围可以分割成5个部分:半径为12米半圆1个,在小房子南面;半径为9米的四分之一圆(因为这里的绳长被院墙“挡”去了3米),在小房子的东面和西面各有一块;半径为3米的四分之一圆,有小房子的北面左右各有一块。
如果用π表示圆周率,那么山羊活动区域内的草地面积就是:
吃草面积=π×122÷2+π×92÷4×2+π×32÷4×2=117π(平方米)
当然,山羊能吃到这么大面积的草,拴它的绳子一定不能发生缠绕现象才行。
同学们再次发现,山羊吃到的草的面积又是一个面积更大的“苹果”了!
【变式题三】如果不拴在正中央,如果不是正方形院墙又如何呢?
以上是一个同学在课堂探究过程中的发问,使其他同学得到了启示,于是又有同学琢磨出了下列新的探究问题:
草场上有长20米、宽10米的关闭着的羊圈,在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊(见下图)。问:这只羊能够吃到的面积是多少平方米?(当然,我们继续假设外面的草场足够大得羊可以在绳长的范围内随便吃,而且羊绳不会缠绕。)
同学们的探究如下图所示,羊吃草的面积可以分为A、B、C三部分,其中A是半径为30米的个圆,B、C分别是半径为20米和10米的
所以羊吃到的草的面积是:
π×302×
=π×(302×
=π×(675+100+25)=800π(平方米)
【变式题四】羊吃掉了一个“操场” !
林伯伯承包了一座荒山,经过两年的劳动,山坡上一片片长方形的林地上,已长出了葱翠的幼林。每个长方形林地的周边都留下宽10米的防火带,防火带上是一片绿油油的青草。
林伯伯养了一只羊。一天,他拿着一条20米长的绳子,对孙女青青说:“你想个办法,把羊限制在防火带上吃草,使它吃到草的面积最大,又不损害幼林。
青青想,要求羊吃草的最大面积,这可又是一道求面积的问题。
青青在地上画了画,想了想:宽只有10米,拴羊的绳子最长只能用5米,把拴羊的木桩钉在防火带的中间,羊能吃到的草的面积是个半径5米的圆的面积。可是一想,那剩下的15米的绳子有什么用呢?
爱动脑筋的静静经过一番思索、尝试,终于高兴地对爷爷说:我想出来了。她把自己的想法告诉爷爷,爷爷夸奖她能运用学过的数学知识灵活解决生活中的实际问题。
青青是这样想的:把绳子分成两段,一段是15米,将15米这段绳子两端系在两个木桩上,拉直15米的绳子,把两个木桩钉在防火带的中间。另一段长5米,5米绳子的一端拴住羊,另一端系着一个小铁环,然后把铁环套在固定好的15米的绳子上。这样羊吃草时,就可以在15米的绳子来回滑动。那么,羊吃草的最大面积(如下图)是一个长方形的面积和两边的两个半圆面积的和。
如果每处接头的长度忽略不计,那么羊吃草的最大面积是:
10×15 + 52π=228.5(平方米)。
细心同学们又发现了:羊吃到的面积很像一个操场的样子呢!
四
弹指一挥间,30年的时空跨越,30年的一路探寻。
就这样,从农村到城市,从青年教师到名优教师,“羊吃草问题”滋润着一拨拨学生的数学学习,也让我和小伙伴们看到了学生像数学家一样思考问题、解决问题的潜力。
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