二元函数对xy同时求导

学习阶段：大学数学。

前置知识：复数的三角形式、棣莫弗定理、多元微分学。

1. 复变函数

1.1 复变函数的定义

说地简单点，复变函数就是自变量和应变量都是复数的函数。其定义域和值域均

，是实函数的扩充。

1.2 复变函数的可视化

由于定义域和值域都是二维的，用一幅类似实函数的静态图像完整绘制复变函数需要四维的空间，这是很难理解的。我们换一种方式来可视化复变函数。

复数可以画在复平面上，我们让自变量移动到应变量的位置，可以绘制出一副动画。比如说函数

的图像为：

f(z)=z^2

我们知道，根据复数乘法的运算法则，若

，则

，你在图中也能看到这种对应关系。图中使用辐角主值

.

2. 复变函数的解析与保角

解析的定义是：函数在这一点的某个邻域内可导。不解析的点称为奇点。

可导的定义是：函数在

这一点可导，则

存在。

导数如何进行可视化呢？我们画一个例子来看看：

一个点附近的映射

我们观察一个点及其映射之后的状况。让这个邻域足够小，则经过这一点的光滑曲线可以近似为直线。自变量的微分

就是从点

往任意方向走一个微小距离对应的复数，相应地，应变量的微分

是从点

往相应方向走一个相应距离对应的复数，如下图所示：

dz和df的可视化

在

可导，即

存在。复数的除法有运算法则

，即模相除，辐角相减。另外，根据极限的唯一性，我们知道

不论往任何方向走，

的值都是唯一的。如果

，则

和

都是不变的，我们称这两个量为

转动角和 伸缩率，如下图所示：

转动角和伸缩率

经典的动图：

保角性动图

转动角

伸缩率

这就直观地解释了复变函数解析性能推出保角性，并说明了导数的几何意义。

3. 柯西-黎曼方程

复变函数不仅可以记为

. 因为

，

，其中

是实数。

与

是自变量，决定了

与

的值，所以

和

都是关于

与

的二元函数，那么复变函数就可以记为

. 如下图所示：

复变函数的u与v

如果

解析，

与

之间有什么关系呢？取

为两个特殊的方向：

dz取两个特殊方向

左图取

为

轴正方向前进

的长度；右图取

为

轴正方向前进

的长度。

由于

解析，它在这一点有保角且伸缩率不变。那么很有趣，当

时，两个紫色直角三角形全等，有对应边相等：

这个方程组，就称为柯西-黎曼方程（Cauchy-Riemann Equations），简称C-R方程。

同时，我们也得到了

导数的各种形式：

附录

参考及推荐视频：

【官方双语】黎曼ζ函数与解析延拓的可视化​www.bilibili.com

其中截取的两个动画分别出现在8:40和14:20开始。