第一次数学危机，这一危机是数学史发展的开端，使学者对无理数有所认识，对其研究。在此之前首先我们来了解一下毕达哥拉斯。毕达哥拉斯（公元前580—前500年）是古希腊的哲学家、数学家、天文学家。据说他在年轻时游历在外，回希腊后建立了一个集政治、宗教、学术于一身的秘密学术派别——毕达哥拉斯学派。此学派具有宗教性质，该学派的内部有严格的纪律：一切发现归功于学派的领袖。毕达哥拉斯学派的思想在当时可谓是权威，没有人不信服。毕达哥拉斯学派认为宇宙的本质就是数的和谐，他们认为数只有两种，即正整数和可通约的数。此外，再无其他数可言，于是毕达哥拉斯学派的中心理念是“万物皆数”。在他们看来，万物的本源就是数，皆可归为整数之比。

毕达哥拉斯学派在数学上的贡献有很多。例如：

（1）据传说，“哲学”与“数学”这两个词由毕达哥拉斯本人所创。

（2）最早意识到“证明需要有假设”的思想与论证。证明某一命题必须要其他命题，而证其他命题还需要另外的命题。因此，总有一些命题无法证明，故这些命题被称之为“公理”和“公设”。

（3）由于毕达哥拉斯本人擅长对事物进行概括和抽象，此学派自觉提出了数学抽象，从实物的数与形抽象到数学上的数与形。

（4）“毕达哥拉斯定理”也就是我们熟知的“勾股定理”，即“任意直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”。据说毕达哥拉斯完成这一定理的证明后欣喜若狂，杀了99头牛来庆祝这一喜事，故又称为“百牛定理”。

危机的产生

就在所有人都为“勾股定理”的证明所征服，认为毕达哥拉斯学派的“万物皆数”理论非常完美时，毕达哥拉斯学派中一位成员希帕索斯在无意中发现一个边长为1的正方形，若设其对角线的长度为d，根据“勾股定理”可知有：

，即

.

那么， d不能用整数也不能用分数表示，只能用一个新的数来表示，在希帕索斯探究这个新的数时无意之间发现了两个数不可通约的证明。证明如下：

设直角三角形ABC，两直角边为

，如图1所示，由勾股定理有

，若已将

中的公约数约去，则

互素，即

为偶数，

为奇数，令

，则有：

故a是偶数，与之前的a为奇数矛盾。这一发现被称为希帕索斯悖论。即  不能表示成整数的比，那么这个新的数是不可公度的。

图 1

  是数学史上第一个被发现的无理数，它的出现掀起了一番惊涛骇浪，让毕达哥拉斯学派惶恐不安。

不仅如此，毕达哥拉斯学派的成员还发现“任意两条线段都是可公度的”这一命题也是错误的。证明如下：

设边长为a的正方形，其对角线为b，如图2所示，由毕达哥拉斯定理，有：

若存在第三条线段长为t，使a和b都是t的整数倍，即：

其中m，n为整数。代入

有：

故有：

同理，即可根据上一证明得出矛盾，所以不存在t，使a和b都是t的整数倍。

图 2

这样一来，毕达哥拉斯学派的“万物皆数”理论从本质上受到了冲击。当时希腊人认为毕达哥拉斯学派的“任何两条线段都是可公度量的”是一种大家公认的信仰，希帕索斯这一惊人发现，意味着打破了当时所有希腊人的信仰，让希腊人感到惊奇不安。也就是在本质上推翻了毕达哥拉斯的论断。从而导致了西方数学史上一场大风波，史称“第一次数学危机”。

当时毕达哥拉斯感到了前所未有的惶恐，他立即下令封锁消息，并严令不能将此消息传到外人的耳朵里，否则处以极刑。希帕索斯听到此消息觉得自己的发现有可能被湮没，所以和伙伴们一起暗地研究。不幸的是这个消息被传了出去，毕达哥拉斯知道后严查泄露机密的人，自然查到了希帕索斯头上。从此，希帕索斯开始了逃亡生涯。但非常不幸的是，最后被毕达哥拉斯派出去的人在一艘船上发现，残忍的直接将其投进大海。

虽然希帕索斯牺牲了，但真理是不会随之消失的，希帕索斯用自己的生命，保卫了这一真理。这一伟大发现让数学得以进步与发展。

但实质上芝诺悖论也是导致这一危机发生的关键。据说芝诺和他的老师都是毕达哥拉斯学派的成员，芝诺得出了四个悖论，具体为：一是二分法悖论，二是阿基里斯追不上兔子悖论，三是“飞矢不动”悖论，四是“运动场悖论”。这看似不符合逻辑的悖论，人们就是无法推翻它。芝诺的这四个悖论都是在运动矛盾的本质。芝诺悖论的提出是为了攻击毕达哥拉斯数学理论的基础，实际上，希帕索斯悖论和芝诺悖论都是从毕达哥拉斯理论中抽离出来的，它们所揭示的矛盾非常深刻。希帕索斯悖论和芝诺悖论即直接引发了“第一次数学危机”同时也刺激了数学与逻辑学的发展。

危机的解决

部分地消除数学危机

希帕索斯悖论冲击了“万物皆数”的两大要点，即“两个数的比相等”和“任何两条线段都是可公度量的”，从根本上冲击了所有理论。所以现在所有问题都非常迫切的需要解决。而就在这时希腊数学家欧多克斯和阿契塔斯两人给出了“两个数的比相等”的新定义，其中巧妙避开了“可公度”的概念。此新定义部分的消除了危机。之所以说“部分地消除”是因为“一切都可以归结为整数比”的错误仍然没有办法解决。

危机的彻底解决

第一次数学危机的解除是在两千多年以后，依赖与数系的扩张，数系的扩张有三个过程：

（1）自然数系

（2）有理数系

（3）实数系

直到人们认识了实数系，第一次数学危机才得以彻底解决。

危机的意义

第一次数学危机的发生表明了，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示。但是，数却可以由几何量来表示。整数的地位受到了挑战，古希腊的观点也受到了极大的冲击。于是，几何学在希腊数学中开始占有特殊的地位。当然也让我们知道，直觉和经验不一定可靠，但是推理证明一定可以让人坚信的。从此希腊人从公理出发，依靠演绎推理，由此建立了几何学体系。这是数学史上的一次革命，也是一个自然产物。危机的出现激发了富于追求精神的科学家的热情，促进了多种理论例如数学基础理论，逻辑理论等的形成和发展。让希腊乃至整个数学界的数学得以发展。