阿基米德又解决了一个难题，就是如何求圆的面积，这可是几何之父欧几里得都没有解决的问题，可是他并没有开心，反而感到了一阵恐惧，因为他在解题过程中用到了无限。
我们先来看一下阿基米德是如何求圆的面积的。
古希腊人早就知道了如何求长方形的面积，就是长×宽，这个很好理解，对于多边形来说呢，只要把多边形划分成多个长方形和三角形就可以了，这些图形有一个共同的特点，就是它们的边都是直线，而圆却是曲线。
为了解决这个问题，阿基米德想到了把圆拆开再拼接的方法。
把圆分成四等分的话，再拼接起来奇怪的图形的边还是曲线，那么继续分，8等分16等分32等分，这个时候就会发现曲线的边越来越直了，那要是分成无数份呢？是不是就会成为一条直线了呢？就像这样。
这样的话，就成了一个长方形，长方形的宽当然就是圆的半径r，长呢自然就是周长的一半C/2，而圆的周长是知道的，就是C=2πr，这样的话就得到了圆的面积。
解决了这么大一个难题，可是阿基米德却高兴不起来，因为他用到了无限，按理说，不管圆分成多少份，只会越来越接近直线，怎么到了无数份就突然变成了直线呢。
无限在古希腊可是一个碰不得的话题，阿喀琉斯永远追不上芝诺的乌龟还有飞矢不动都是用到了无限，结果推导出来了不可能的情况，这就是悖论。
欧几里得也是不愿意使用无限，在他的《几何原本》中第五公设就用到了无限的概念，结果他自己也不愿意使用，好像也有点担心。
欧几里得的担心是正常的，因为他是数学家，数学家本来就是上帝的代言人，他们的所有理论都必须要建立在严密的逻辑基础上，要是基础不牢固，那么大厦就是建立在流沙之上，那可是随时都可能崩塌的。欧几里得的几何大厦就是由于这一点不严密造成了基础不牢，带来了后来的非欧几何风暴。
阿基米德同样感到了害怕。
可是阿基米德和欧几里得不一样，他不但是数学家，他还是物理学家还是工程师，作为数学家务求严谨，对于物理学家和工程师就没有必要了，我们都知道他的浮力定律和杠杆原理，他还造出来过巨大的起重机，可以把罗马的战舰吊在半空。。
作为物理学家和工程师的阿基米德沿着这条路走了下去，他还用这种方法推导出来了抛物线下面图形的面积。
虽然推导有点不严谨，阿基米德还是希望自己这种方法流传下去，希望未来的数学家用这种方法来“找到我们尚未掌握的其它定理”。
2、业余数学家的贡献
这个未来有点长，都差不多有两千年了，才由一个天文学家接过了阿基米德的接力棒、这个天文学家就是被称为“天空立法者”的开普勒。
1609年，开普勒找到了行星运行三大规律中的前两条，分别是椭圆定律和面积定律。
椭圆定律是说行星的运行轨道是一个椭圆，太阳就处于椭圆的一个焦点上，这一点对于天文学非常重要，这打破了以往人们认为天体运行轨道都是完美的圆的臆想，这个以往的人们包括亚里士多德托勒密还有哥白尼。
面积定律是说行星和太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等，刚才说了，行星的轨道是椭圆，这就意味着开普勒必须要知道椭圆的面积怎么计算，要想计算椭圆的面积，这又要回到阿基米德的老路上去了，又要涉及到无限小了。
不过开普勒不在乎，虽然他数学才能出众，他也不是纯粹的数学家，在这条路上他越走越远，还写出了一本《测量酒桶的新立体几何》，在书中他引入了无穷大和无穷小的概念，随后给出了酒桶、球等物体体积的新测量方法。
开普勒的发现为自己挣得了无上的荣誉，可也砸了自己的饭碗，他本来是占星家，要论对天上星星的了解除了老师第谷之外还真没有超过它，靠这门手艺可以给达官贵人们卜一卜吉凶算一算命运，可是现在他说行星的运行都是有规律的，莫非达官贵人的命运是靠开普勒计算出来的，虽然“计算”比“算”只多了一个字，可再也没有人相信他的占星术了。
不过，为了科学为了真理，自己受点委屈也算不了什么，可是有一个人的行为却让他有点不服。
这个人就是伽利略。
1608年，荷兰人发明了望远镜，在没有见到实物的情况下，伽利略也组装了一台望远镜，并把目光投向了星空。
伽利略看到了月球的环形山还看到了木星的四颗卫星，这一系列的发现震动了欧洲，伽利略就此成为了著名的天文学家，名声甚至超过了开普勒。
开普勒知道伽利略的所有发现都依赖于望远镜，于是打算向伽利略借望远镜用一下，伽利略说不借，那么借镜片也行呀，伽利略说没有多余的。
这当然是伽利略不对，按理说，伽利略走上天文学家的道路还依赖于开普勒，当年开普勒还没有成名时，曾经把自己的著作《宇宙的奥秘》寄给过伽利略，虽然书的内容不怎么样，可就是这本书让伽利略对天文学有了兴趣。
伽利略的这种行为为微积分的发展开了一个坏头，从此后在微积分的发展过程中就充满了明争暗斗。
不过他们当时的争斗还算不上什么，毕竟俩人搞的是不一样的领域。
伽利略的最著名的研究当然是在力学上，伽利略“科学之父”的名声就是靠力学得来的，伽利略发现了运动中的曲线，他已经证明了抛体运动的轨迹就是曲线，不但运动的轨迹是曲线，就连速度变化规律也要用曲线来表示，伽利略连瞬时速度都感受到了，那么什么是瞬时速度？瞬时速度自然就是运动轨迹的切线了。
速度自然是数，切线当然是形，数和形怎么样才能搞到一块去呢？这就是解析几何。
下面该笛卡尔出场了。
说起笛卡尔，是不是第一个就会想起那个凄美的爱情故事和那条著名的心形曲线。
传说年迈的笛卡尔遇到了美丽的瑞典公主克里斯汀，爱情的火花就在睿智的老人和青春的少女之间产生了，可是国王反对这门亲事，不让笛卡尔和公主继续见面，笛卡尔就给公主写了一封信，内容自然不能是谈情说爱，要是那样的话，国王就把信扣下了，信上只有一个函数r=a(1-sinθ)，可是聪明的公主却明白了笛卡尔的深情，这个函数画出来就是著名的心形曲线。
这个故事一看就是假的。
首先极坐标是牛顿首先使用的，而牛顿使用极坐标的时候笛卡尔已经去世多年了，算了，不提极坐标的事情了，也可以用平面坐标表示心形呀，可就算这样，故事照样是假的。
笛卡尔确实是克里斯汀的数学老师，不过他们俩相遇的时候公主已经即位成为女王，而且国事繁重，自然没有和笛卡尔来一段忘年恋。
笛卡尔确实死在了瑞典，不过不是因为爱情，而是他的生活习惯。
笛卡尔从小体弱多病，为了照顾他，家里允许他在床上看书，他就养成了一个坏毛病，每天中午才起床，这要是穷人家孩子也不可能有这个毛病，可他出身富裕，这个习惯可以让他有足够的时间看书，可这个习惯也要了他的命。
给女王当老师的时候，女王每天五点就要起床，作为老师总不能赖到中午才上课，又不能在床上给女王上课，再加上瑞典天气寒冷，结果就死在了瑞典，年仅54岁。
虽然笛卡尔没有和公主走到一起，可是他把代数和几何拉到了一起，这就是解析几何，这是第一次人们可以用函数来表示形状，这个形状就包含了曲线，就像心形曲线一样。
笛卡尔不但用函数表示了曲线，他还求出了曲线的切线，曲线的切线就是只和曲线有一个交点的直线，说到底这就是一个求极值的问题。
为了这个问题，笛卡尔可谓费尽了心思，以致于都开始埋怨古人。
笛卡尔曾经感叹道“（古希腊人）掌握了一种数学知识，它与我们这个时代通用的数学知识截然不同，但我的看法是……那时的卑鄙和令人愤慨的作者隐瞒了这种知识”，笛卡尔绝对是冤枉阿基米德了。
阿基米德的手稿都湮灭在了战火之中，我们都知道阿基米德临死前还在演算数学题的故事，故事可能是传说，但他确实死在了刀兵之中，后来达芬奇、伽利略还有牛顿都研究过阿基米德的著作，可是都没有见到他的推导过程，他的手稿直到1998年才重现于世，而此时那些天才们也都已经去世了。
遥远的东方也曾出现过微积分的萌芽，那就是刘徽的割圆术，祖冲之就是用割圆术把圆周率算到了七位，不过东方太遥远了，笛卡尔也看不到，既然见不到，那就自己创造出来吧。
于是笛卡尔就成了野心家，他要重建人类的知识，他的狂妄从那一句“我思故我在”就可以看出来。
如果不是一个人出现，笛卡尔就可以成功了，这个人就是费马。
提起费马，肯定是先想到那个书的空白太少的故事，好像费马就是一个喜欢奇思妙想的骗子一样，这可是冤枉了他，除了那一堆猜想外，他还在笛卡尔之前创立了解析几何，只是他并没有公布，因为他是一个业余数学家。
费马几乎是笛卡尔的反面，白天从事法律工作，晚上照顾好孩子后，他才有几个小时的时间来研究数学，和狂妄的笛卡尔比起来，费马是腼腆随和的，他并没有笛卡尔的伟大理想，数学只是他打发时间的一个爱好，费马和数学界的联系主要是通过书信，他甚至都没有见过和他通信的数学家朋友们。
可是就是这样，与世无争的费马还是得罪了笛卡尔，这要归功于费马的数学家朋友了。
对于笛卡尔的狂妄，大家都有点不爽，可是谁也没有办法，他们只好抬出了他们的朋友费马。
笛卡尔听说有一个无名小卒居然在他之前提出了解析几何，立刻勃然大怒，他开始挖空心思地诋毁费马，并阻止费马的著作出版，可是他这万钧之力却打错了地方，因为费马一直以业余数学家自居，数学只是他的一个消遣，至于是不是出版著作更是不在意，他的著作在去世后才出版。
笛卡尔看起来是取得了胜利，至少我们现在都在学习笛卡尔坐标系，虽然费马更早地提了出来，不过笛卡尔失去的更多，要是他能和费马携手并进，那对数学的推动就是一件大好事。
从伽利略开的头到了笛卡尔终于有了结果，不过这还没有发展到巅峰。
费马还求解出了曲线y=x^n下方的面积，就像这样。
还记得阿基米德是如何求得抛物线下方的面积吗？阿基米德把抛物线下的面积划分成了无数个三角形，费马的思路和他大同小异，大同是俩人都把一大块面积划分成了无数个小块，小异是费马划分成了矩形。
还是来看看费马是怎么求解的吧。
费马把曲线下的大块划分成了不相等的无数个小矩形，虽然不相等，可也有规律，这个规律就是小矩形的宽度呈等比数列，比值r小于1，如图所示。
只有了宽还不行，要想计算面积还需要长，长就简单了，只要取曲线上对应点的坐标就可以了。下面就要把这些小矩形的面积加起来了，就得到了这样一个式子。
既然是等比数列，那么就用等比数列的求和公设计算一下吧，就变成了这样。
化简一下，就成了这样。
等一下呀，现在得出来的是一堆矩形的面积，可不是曲线下的面积，每个小矩形还有一点在曲线上头呢，要想解决这个问题怎么办，当然是分得越多越好，当分到无数个小矩形的时候，那点多出来的就微不足道了，就可以舍去了，这是不是又回到阿基米德的老路上去了，这岂不是又成了追不上乌龟的阿喀琉斯了吗？人家阿基米德是物理学家还是工程师，这么做还有情可原，可费马你是数学家呀，即便是业余的，也要有数学家的严谨呀。
算了，好歹有阿基米德的先例，而且阿基米德也对了，没准这种方法还真对呢，可是就算这样，费马的方法还是不能计算，因为r还没有消除呢，人家阿基米德可是没有带着这么多零碎。
不过这难不倒费马，因为还没有到无数个小矩形呢，那什么时候才是无数个呢，当然是r=1的时候，要是r=1，公式就成了这样。
A=a^(n+1)/(n+1)
再等一下，刚才化简的时候明明说了r≠1，要是r=1的话，那么前面又是怎么消除的r-1呀，0不能做被除数，这是常识呀，虽然说业余数学家，也不能这么业余呀，又来了个自相矛盾，真是一波未平一波又起，费马并没有解决这个问题.
这还真怪不着他，因为这就是微积分的原罪，就算牛顿和莱布尼茨也解决不了。
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