芝诺悖论
古希腊著名哲学家芝诺(约公元前490年~前425年)曾提出四条著名的悖论,也被如今的数学史界认定为引发第一次数学危机的重要诱因之一。
第一,“二分法”。
运动着的东西在到达目的地之前须先完成行程的一半,而在完成行程的一半后,还须完成行程的一半的一半……如此分割,乃至无穷,因而它与目的地之间的距离是无限的,永远也达不到目的地。
第二,“阿基里斯永远追不上乌龟”。
阿基里斯是希腊跑得最快的英雄,而乌龟则爬得最慢。但是芝诺却证明,在赛跑中最快的永远赶不上最慢的,因为追赶者与被追赶者同时开始运动,而追赶者必须首先到达被追赶者起步的那一点,如此类推,他们之间存在着无限的距离,所以被追赶者必定永远领先。
第三,“飞矢不动”。
任何物体都要占有一定的空间,离开自己的空间就意味着失去了它的存在。飞矢通过一段路程的时间可被分成无数瞬间,在每一瞬间,飞矢都占据着一个与自己大小相同的空间,由于飞矢始终在自己的空间之中,因而它是静止不动的。
第四,“运动场”。
有两排物体,大小相同,数目相等,一排从终点排到中间点,另一排从中间点排到起点,当它们以相同的速度作方向相反的运动时,就会在时间上出现矛盾。芝诺认为这可以证明一半的时间等于一倍的时间。
以上四条悖论从根本上挑战了毕达哥拉斯学派所一直贯彻的度量和计算方式。[3]