“极限”是高等数学中微积分的基础概念,是联结确定性和不确定性的微妙边界。
在学生时代,极限可以说是入门高等数学的第一个拦路虎。回想起来,那时候对这个概念的理解非常浅薄,或者根本没有理解。
本文试从几个角度浅谈下对“极限”、具体说是对“函数极限”这个概念的一些理解,欢迎大家讨论指正。
在初等数学中,涉及的是精确的数值和运算。极限的语义,暗含了“不确定的趋势”之意味,意指“无限接近但永远无法达到”,这本身就是意识上的飞跃。
对于函数极限来说,f(x)在某一点 c 处的极限值,至少需要理解以下几点:
1.无限接近 c 点,但和函数在 c 点有没定义无关;
2.需要考虑从 c 点的两侧无限的逼近;
3.如果极限存在,函数值 f(x) 在 x 逼近 c 点的过程中,会呈现确定的趋势;
4.极限是一个无限的过程;但这个过程有一个永远无法到达的趋势。
函数 y = x+1 在 x 无限逼近1的时候有什么情况发生?
这里首先要面对的是“无限逼近”这一说法。意识中的无限,当落实到纸面上时总有一个精度的问题。也许你觉得0.999...后面有几十位的9已经足够逼近1了,1.00...1中间有很多个0也是非常逼近1的,但其实这些数值和“无限逼近1”根本是不等同。
至少,这样的做法能给我们一个函数值的趋势:
在我们可接受精度的“无限逼近”下,函数值呈现出“无限逼近” 2 的趋势。
含糊其次的定义,从数学上虽说不够严谨,但对于概念来说未必不合时宜。函数 f(x) 在某一点 c 的极限值为 L,完全可以这样定义:
当 x 取值充分地逼近 c 时,f(x)的值会任意地接近 L。
这个定义说明了内涵,但确实不够正式。因为充分逼近,任意接近,这些都是含糊其辞的表达,但作为一种可记忆的简短形式还真是不错。
函数极限在什么情况下会不存在?从图像上可以想象出一些情景,比如:
这个函数在 x=1 处,发生了一次跳跃。当从 1 的左侧和右侧分别逼近时,趋势明显不一致。
这个函数在逼近 1 时,函数值没有一个有限数值的趋势。
那么,极限存在的典型情况呢?
不论从左右哪一侧逼近1,趋势都是明显的。从函数的图像上,可以直观的、先入为主的判断极限的存在与否。
既然对极限有了非正式的,直观的定义和理解,如何精确的定义它?现代数学对于极限是这样定义的:
f(x)定义在一个可能不包括 c 的开区间上,说 x趋近于 c 时 f(x) 的极限为 L,这意味着:如果对任意的 ε>0,存在相应的数 δ>0, 使得下式成立:
对比前述第三部分中“充分逼近”、“任意逼近”的定义,这个定义以精准的数学语言代替了语义含糊的自然语言。
任意接近 L
对于任意地 ε>0 ,关键在于“任意”,这保证了函数值与 L “任意接近”。ε 是任选的正数,它代表了我们对于精度的要求。也许在某些场景下,ε 取 0.1 就满足我对“任意接近”的要求。
充分逼近 c
在确定了 “任意接近 L”的精度后,能相应地找到一个(即可)正数 δ。点 c 为中心的 δ 临域内所有的 x, 其对应的函数值 f(x) : L-ε < f(x) < L+ε
从函数图像上来说,极限的数学定义想表达的是什么呢?
三条水平线 L,L+ε,L-ε如上图,ε是任意选择,这代表了任意接近L的精度,不论你怎么选这个 ε 值,这是你认为的“任意接近L”。
在选定了 ε 之后,能找到 c 点的一个 δ 临域,如上图。在这个临域内的所有 x,其对应的函数值 f(x) 均在(L-ε,L+ε)的范围内,即满足你选定的 “任意接近L”。
怎么样,看了这么多角度的分析,你对极限的概念理解了吗?
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