大家好，很多同学在碰到二次函数应用题的时候就会发怵，其实大可不必，只要我们掌握了它的规律及常见题型即可。当然题目千变万化，总之都是文章中所列题型的变形及升华而已，关键是要掌握核心的思想，题目附件的条件越多你越不能慌，要抽丝剥茧慢慢理出头绪。总之，在解答应用题型的时候一定要学会分析，要学会逆向思维，要先从求得入手，要求什么需要先知道什么一层一级你就会发现给你的条件一个个浮出水面。
关于二次函数应用题，主要是利用了它的求最值的特性。利用二次函数解决实际问题可以分为三个步骤：
（1）由于抛物线的顶点是最低（高）点，当时x=-b/2a，二次函数 有最小（大）值(4ac-b^2)；
（2）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
（3）在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值。
左图，当对称轴左边部分y的值随着x的增大不断减小直到最小值，也就是抛物线顶点。当x的值大于对称轴后，y的值随着x的增大而增加。
右图，当对称轴左边部分y的值随着x的增大不断增加直到最大值，也就是抛物线顶点。当x的值大于对称轴后，y的值随着x的增大而减小。
所以，在x的取值范围内，我们要观察它的实际区域。这就是x的取值重要。当然也要根据实际情况来取值。
我们先来看一道基础题型。
【例1】、红梅超市进了一批每双30元的凉鞋，现在的售价为每双40元，每星期可卖出150双。老板算一笔账：如果每双的售价每涨1元（售价每双不能高于45元）那么每星期少卖10双。设每双涨价x元（x为非负整数），每星期的销量是y双。
根据这种情况，如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？
【分析思路】
这类题型是条件最少也是最简洁的求利润问题。解决这类题型有几个步骤：
1）利用涨价或降涨价幅度以及带来的售卖数量变化来计算少卖和多卖的数量。
2）没有涨价或降价前销售的数量，作为涨价少卖或者降价多卖的差值计算。
3）根据条件列出自变量x的取值范围。
4）根据条件例出顶点形式的解析式。
5）在x的取值范围内，计算解析式最值即可。
【解题】
1、x由于是涨价 并且售价不能超过45元，可得x的取值范围：40≤x≤45。
2、根据表格得出解析式
y=(150-10x)(10+x)
=-10(x-2.5)^2+1562.5
因为条件给出x是非负正数，所以当x=2或者x=3时，也就是售价是42元或者43元时，利润最大且利润是1560元。
通过以上的小试牛刀，现在我们来看看二次函数在实际考试中都有哪些题型吧！Let's go!
第一类、求利润类问题
【例2】、某酒店有50个房间，当每间房价每天180元时房间会住满。当每间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。酒店需对每个已住房间每天支出20元的费用。根据规定，每间每天的房价不得高于340元。设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)。
(1) 设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2) 设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；
(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？
【分析思路】
1）由于每间房定价不能超过340元，那么涨价的最大值就是340元-原先定价180元=160元。可以得出涨价x的取值范围：(0≤x≤160，且x是10的整数倍)。
2）根据例1的解题思路解决问题。(以下同类步骤不再分析。)
【解题】
（1）、(1) y=50-x (0≤x≤160，且x是10的整数倍)。
（2）、W=(50-1/10x)(180+x-20)= -1/10x^2+34x+8000；
（3）、W= -1/10x^2+34x+8000=-1/10(x-170)^2+10890
当x<170时，W随x增大而增大，但0≤x≤160，所以，当x=160时，W最大=10880。
当x=160时，y=50-x=34。
答：一天订住34个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润是10880元。
第二类、求面积类问题
【例题3】、张大爷准备围建一个矩形生物苗圃园。其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成。已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.
（1）若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围；
（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；
（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图像，直接写出x的取值范围.
【解答】
（1）、设y=30-2x(6≤x<15)。
（2）、设矩形苗圃园的面积为S
S=xy=x(30-2x)=-2x^2+30x
=-2(x-7.5)^2+112.5 根据(1)知，6≤x<15
所以当x=7.5时，S最大值=112.5
也就是当矩形苗圃园垂直于墙的一边长是7.5米时，张大爷的苗圃园面积最大且最大值是112.5。
第三类、方案设计类问题
【例题4】、某单位拟用一节容积是90立方米、最大载重量为50吨的火车皮运输购进的A、B两种材料共50箱．已知A种材料一箱的体积是1.8立方米、重量是0.4吨；B种材料一箱的体积是1立方米、重量是1.2吨；不计箱子之间的空隙，设A种材料进了x箱。
（1）求厂家共有多少种进货方案（不要求列举方案）？
（2）若工厂用这两种材料生产出来的产品的总利润y（万元）与x（箱）的函数关系大致如下表1：
请先根据上表画出简图，猜想函数类型，求出函数解析式（求函数解析式不取近似值），确定采用哪种进货方案能让厂家获得最大利润，并求出最大利润．
【解答】
（1）、设A种材料进了x箱，那么得出B进了(50-x)箱
根据题意：（1）、1.8*x+1*(50-x)≤90，（2）、0.4*x+1.2*(50-x)≤50，由(1)(2)解得：
12.5≤x≤50，由于x是箱子正数，得出x=50-13=37种进货方案。
（2）、根据表格绘制图像
根据图像判断，可以函数是二次函数，设二次函数的解析式为：y=ax^2+bx+c
根据图像可得二次函数经过（15，10）、（25，40）、（45，40）三点坐标，将这三点坐标代入二次函数解析式可解得a=-0.1,b=7,c=-72.5。
那么二次函数的解析式为：y=-0.1x^2+7x-72.5，根据顶点公式x=-b/2a=35时，函数有最大值，由此可知厂家最大利润是50.1万元。
第四类、拱桥类问题
【例题5】、如下图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h=-1/128(t-19)^2+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？
【解答】
（1）、设抛物线为 y=ax^2+11,由题意可得B(8,8)，将坐标代入解析式可得：64a+11=8
解得：a=-3/64，所以 y=-3/64x^2-11。
（2），根据题意，水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多是6米。
所以 6=-1/128(t-19)^2+8,解得t1=35,t2=3,t1-t2=35-3=32（小时）。
第五类、运动类问题
【例题6】、如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x-6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
【解答】
（1）、y=-1/60(x-6)^2+2.6
（2）、当x=9时，y=2.45>2.43，所以球能过球网。
当y=0时，-1/60(x-6)^2-2.6=0解得 x1=6+2√39>18，x2=6-2√39(舍去)
x1=6+2√39>18，所以球会出界。
（3）、h>8/3。
第六类、几何类问题
【例题7】如图，抛物线y=ax+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），过点A的直线相交于另一点D（3，2.5），过点D作DC⊥x轴于点C.
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴交直线AD于点M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM的面积的最大值；
（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
【解答】
解析：
（1）代入B、D坐标，即可得抛物线解析式为：y=-0.75x+2.75x+1。
（2）运用代数办法，用未知数表示出△PCM的面积，配方求最值。
抛物线解析式为：y=-3x/4+11x/4+1。
A（0，1），用待定系数法可求得：
直线AD的解析式：y=0.5x+1。
设P(t,0)，∴M(t,0.5t+1)。
∴PM=0.5t+1，∵CD⊥x轴，∴PC=3-t。
∴△PCM面积=PC·PM÷2=(3-t)(0.5t+1)÷2=-0.25(t-0.5)+25/16。
∴△PCM的面积的最大值是25/16。
（3）利用平行四边形对边相等的性质，表示出相应线段长，列方程解答。
∵OP=t。
∴点M、N的横坐标为t，设M(t,0.5t+1)，N(t,-0.75t+2.75t+1)。
∴MN=(-0.75t+2.75t+1)-(0.5t+1)= -0.75t+2.25x。
∵CD=2.5，∴如果以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形。
∴MN=CD，即：-0.75t+2.25x=2.5。
∵△<0，∴方程无实数根。
∴不存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形。
第七类、喷泉类问题
【例题8】如图所示,桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m。
(1)如果不计其它因素,那么水池的半径至少要多少m,才能使喷出的水流不致落到池外？
(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池的半径为3.5m,要使水流不落到池外,此时水流的最大高度应达到多少m(精确到0.1m)？
【解答】
(1)如图,建立如图所示的坐标系,根据题意得,A点坐标为(0,1.25),顶点B坐标为(1,2.25)。
设抛物线为y=a(x-h)^2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为:y=-(x-1)^2+2.25。
当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0);同理,点D的坐标为(-2.5,0)。
根据对称性,如果不计其它因素,那么水池的半径至少要2.5m,才能使喷出的水流不致落到池外。
(2)如图,根据题意得,A点坐标为(0,1.25),点C坐标为(3.5,0)。
设抛物线为y=-(x-h)^2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为:y=-(x-11/7)^2+729/196。
或设抛物线为y=-x^2+bx+c,由待定系数法可求得抛物线表达式为:y=-x^2+22/7X+5/4。
由此可知,如果不计其它因素,那么水流的最大高度应达到约3.72m
联系客服
