尾巴重新接回的奥秘
——2013武汉赛课《最小公倍数》课堂实录与点评
广东省深圳市螺岭外国语实验学校
课前谈话
师：同学们来过这里上课吗？（没有。）
师：你们注意到没有，这里比你们平时上课的教室大多了。为了让在场听课的老师也听清楚你们精彩的回答，个人回答问题时请用话筒。
师：等会儿屏幕上会播放一段视频，这是老师的同事帮老师做的个人简介，一起来看看？（好。）
现场播放骆老师简介，特别介绍了骆老师两次骑自行车到拉萨的旅行。播放完毕，全场响起热烈的掌声。
师：谢谢！这是老师个人觉得很自豪很得意的经历。你们有没有自己也觉得很自豪很得意的经历？
学生分享自己的经历。
师：刚才很多同学都分享了自己的经历，我能与这么厉害的学生一起上课，感觉特别兴奋。那我们开始上课吧。
（点评：老师隆重登场，获得满堂喝彩。但老师没有继续在自己身上做文章，而是以学生为本，让学生发热发亮。）
一、激发欲望，经历活动，记录活动相关数据
1．第一次猜想、验证。
（1）猜想
师：今天，老师给大家带来了一个很好玩的游戏，想玩吗？
生：（眼睛闪现光芒，脸上充满惊喜）想！
师：（举起正六边形）请看，这是一个正六边形。（举起正方形）这个呢？（正方形！）
师：也可以说是正四边形。背面有图案，谁能把它拼好？
师请学生拼好图片。
![[转载]尾巴重新接回的奥秘](http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif "[转载]尾巴重新接回的奥秘")
师：是什么？（猴子。）
师：是一只可爱的小猴子！接下来我们就用这两张图片来玩游戏。我把正六边形固定不动，让正四边形绕正六边形按一个方向转动。（师转动图片一次）如果这样叫转动一次，（再次转动图片）这样呢？（两次。）（第三次转动图片）这样呢？（三次。）
师：你们注意到没有，当正四边形开始转动的时候，猴子的尾巴——（断开了！）
师：（师将图片恢复原状）我想请大家来猜一猜，从这个时候算起，转动几次，猴子的尾巴又能重新接回？
学生猜6次、12次、18次、24次不等。
师：有同学猜6次，24次，有同学猜12次，还有同学猜18次，到底是几次？怎么才能知道？
生：（脱口而出）转一下。
师：行，我来转，你们大声数！
（点评：玩游戏就是玩游戏，老师没有向学生追问理由，保持了现场氛围和课堂节奏。）
师：接回了吗？（生忙改口12次）继续转！
学生继续数，老师继续转，到第12次时，尾巴重新接回。
师：刚才谁猜对啦？（学生目光一致移向猜对的学生，师带头鼓掌。）我们把刚才的活动记下来。我们把大的正六边形记作图1，小的正四边形记作图2。刚才转到第几次重新接回？（12次。）
师板书：6、4：12
师：如果继续转，到第几次，尾巴还能重新接回？
生：（齐声）24次！
师：24次，为什么是24次呢？
生1：因为24是12的倍数。
师：列个算式？
生1：12×2＝24
师：12×2，同意吗？（同意。）
师：继续往下写？（36！）再继续？（48、60、72……）还能写多少个？（无数个。）
师根据学生的回答板书次数。
师：这个游戏叫“尾巴重新接回”。（师板书：尾巴重新接回）怎么样，好玩吗？（好玩！）
（点评：几句简单对话，将其它重新接回的次数也找出来，也为下面的几个环节进行了铺垫。）
2．第二次猜想、验证。
师：如果再玩一次这个游戏，你们有没有信心把它猜对？
生：（大声齐说）有！
师：这信心不错，来！请看屏幕。动物变了，更重要的是——图形也变了。几边形和几边形？
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生：8边形和5边形。
师板书：8、5。
师：转动几次，尾巴又能重新接回？
生猜40次、60次、80次、120次、160次、200次不等。
师：这么多啊！来看看谁猜对了？请看屏幕，我来转，你们数。
（2）验证
师生共同验证，并记录数据。
师：掌声送给刚才猜对的同学！
（点评：转动的次数比较多，是老师故意而为之，目的是增加游戏的趣味性。大部分学生能猜到，素质较高。）
3．学生亲历猜想、验证、记录过程。
师：这么好玩的游戏，你们想不想自己来玩一玩？
生：（跃跃欲试）想！
师：好，听清楚老师的要求。待会儿老师会给你们一些这样的图片（出示5边形＋4边形、8边形＋4边形画有动物的图片），你们以小组为单位，也像刚才那样，先猜，再转，最后将数据填在表格里，表格是这样的，能看懂吗？（能。）图片和表格就放在学具袋里。开始！
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（2）数据汇总
操作结束，师迅速将表格收起来，直接将数据记录在黑板上。
6，4：12、24、36、……
8，5：40、80、120、……
8，4：8、16、24、……
5，4：20、40、60、……
师：我刚才认真的看了同学们的记录，我发现拿到相同图片的小组数据都是一样的，我已经把它写在黑板上了。没问题吧？（没有。）
（点评：有了前面两次游戏的铺垫、示范与老师的指导，学生操作准确，纠缠数据汇总的过程意义不大，迅速进入下一环节。）
二、观察数据，发现奥秘，引出公倍数和最小公倍数的概念
1．提出问题
师：刚才，我们总共玩了三次尾巴重新接回的游戏，得到了这样一些数据。（师将数据整理到屏幕上。）
师：第一次，猜对的人不多，只有他猜对了；第二次，猜对的人多了起来；到第三次你们自己玩的时候，我发现很多同学一下子就猜对了。诶？你们是不是发现——诀窍？奥秘？（师重复学生说的关键词）奥秘是什么呢？（师板书：的奥秘）尾巴重新接回的奥秘是什么呢？也就是说，（走到黑板或屏幕，指着数据说）这些重新接回的次数与什么有关？又是怎样的关系呢？
部分学生踊跃举手。
（点评：玩了三次游戏，学生或多或少能感觉数据里面有规律，老师顺势引导，提出本课最重要的问题：尾巴重新接回的奥秘是什么？）
2．小组讨论
师：有的同学已经有想法了，这样，先请大家在小组内说一说，再把你们小组的意见写在二号作业纸上，然后我们再请小组代表来汇报。
学生小组讨论，师时而巡视时而参与学生的讨论。
（点评：本课的主要问题是在学生感性认识的基础上提出的进一步的思考，是一个真正的问题，也是学生关心的问题。老师并不急于让学生汇报，而是先在小组内交流，学生的交流是有价值的，是真正的交流。）
3．汇报交流：
师：刚才你们小组讨论非常积极，都有很多的发现，下面我们就请小组代表来汇报。我先请你们组来！（师带头掌声鼓励学生。）
生2：我们小组发现：两个图形边数相乘就能得到其中一个重新接尾的数字。
师：你能不能到这里来，举个例子，结合黑板上的数据再说说你们的发现？可能大家会听得更明白。
生2：（走到黑板前，指着数据）呃，比如说4和6两个，它们相乘是24，24这里边它就会出现一个重新接尾的数字。5和8相乘是40，40也会出现在重新接尾的数中。4和8相乘是32，32在……呃……（发现没有32，老师帮忙把32添上。）
生2：（继续刚才的回答）四五二十，20也会出现在重新接尾的数里。
生举例，师将学生举例的数字圈起来。
（点评：老师选择了一个发现不够完善的小组。学生陈述了他们小组的观点，老师并不着急，而是让学生举例说得更清楚，让所有的学生都明白他们的观点，并给学生的质疑留出空间和时间。）
师：这是他们小组的发现，你们对他们的发现有什么看法吗？（没有学生举手）一点点都没有？（有两个学生缓缓举手）有同学有看法了，你说！
生3：我觉得这样子虽然的确是可以找到一个重新接尾的数字，但是不能找全，而且不一定能保证找到的是第一个。
师：你能不能像他那样也举个例子？举例子来说明你的观点。
生3：比如说这个同学它的图1的边数是6，图2的边数是4，它们相乘的积是第二次重新接尾了！图1的边数是8，图2的边数是4，得出来的是第四个重新接尾的数字了！
（点评：果然，学生提出了质疑。同样，老师采用让学生举例的形式让他表达得更清楚，并给学生留白，让学生有空间和时间重新审视这个小组的发现。）
师：我听明白了，你们的意见是不是这样？虽然两个图形边数乘起来，能够得到其中一个重新接回的数字，但是——
生3：不能得全！而且有时候第一个也得不出来。
师：你们听得明白吗？虽然乘起来能够得到其中的一些重新接回的数，但是还有一些，它们并不是两个数的乘积，也重新接回了。那你们对他们小组的发现怎么评价？
生：他们的发现是对的，但是不完整。
师：是对的，但是不完整，（问发言的小组代表）你们能接受吗？好的！谢谢！但是她能够勇敢、大胆地第一个上台向所有的同学及老师汇报，我觉得这一点值得我们给他们热烈的掌声！（全场掌声响起，生2带着满意的笑容回座位。）
（点评：有了足够的留白，学生的评价相当中肯恰当。老师又恰到好处的用鼓掌的形式保护了汇报学生，鼓励了其他学生继续汇报。）
师：接下来我请——（师用目光扫视学生）好！你们小组也来汇报！
生4：我们小组发现重新接尾的次数既是图1边数的倍数又是图2边数的倍数。
师：你能不能也像刚才那位同学一样，结合黑板上的数据来说明？
生4：（走到黑板前，指着数据）比如说12、24、36，都是尾巴重新接回的次数，然后呢，12既是6的倍数又是4的倍数，24是6的倍数，也是4的倍数，36也是6的倍数和4的倍数。
师：其它组数据呢？
生4：也是一样的，40是8的倍数也是5的倍数，80是8的倍数也是5的倍数，120是8的倍数也是5的倍数。
师：其他两组数据也是一样吗？（是的。）
师：这是他们小组的发现，你们对他们的发现有什么看法？（没有学生举手）完全同意？一点意见都没有？（还是没人举手）那好！我们鼓掌一致通过！（掌声响起。）
（点评：这一次老师选择了完全正确的答案，得到学生的一致认可。两个小组汇报的过程，学生是活动的主角，老师充当的角色是活动的组织者、引导者、合作者。）
4．引出公倍数和最小公倍数的概念
师：同学们，通过刚才大家的讨论和汇报，看来尾巴重新接回的次数与什么有关？（与图1、图2的边数有关。）是什么关系呢？
生：既是图1边数的倍数，同时，也是图2边数的倍数，是他们共同的倍数、公共的倍数！
师：我们把它记下来。（ppt出示图形边数与重新接回次数的关系。）
师：同学们，像这样的数，同时是两个数公共的倍数，在数学上有一个专有的名称，叫——
生：（大部分学生说）公倍数！
师：说对了！就叫公倍数！
师：那黑板上这么多的公倍数，你们觉得哪一个最重要？
生：最小的那个。
师：为什么？
生5：因为知道最小的公倍数，就能找到其它的公倍数。
师：怎么算？比如说，我已经找到了最小的倍数了，其它的怎么算？第二个数呢？
生5：就是第一个数的两倍。
师：第三个？（三倍。）第五个？（五倍。）
师：乘五就行了，对吧？第一百个？（一百倍。）第一万个！（一万倍。）
师：对吗？谢谢！（掌声）
师：（指着公倍数中最小的那些）像这样的数，在公倍数中是最小的，它们也有一个专有的名称——（最小公倍数。）
师：原来，尾巴重新接回的次数就是多边形边数的边数的公倍数，第一次接回就是边数的最小公倍数！（师板书：公倍数
师：原来尾巴重新接回的奥秘就是这个！
（点评：公倍数和最小公倍数，这只是数学上的规定，老师选择了直接给出，学生有了前面的汇报铺垫，轻松接受。对于最小公倍数，老师用“哪一个最重要”的形式说明给它一个专有名词的必要性。至此，公倍数与最小公倍数的概念已经引出，本课的重点任务已经完成。）
三、不转图片，运用“奥秘”，尝试寻找两个数的最小公倍数。
师：那如果现在还让你们玩这个游戏，会猜吗？（会！）有把握吗？（有）
师：不转动图片哦！（行！）
师：来！我们来试试！
师：比如说8边形和6边形，我们要知道8边形和6边形至少转动几次尾巴重新接回，其实就是求8和6的——
生：最小公倍数！（有学生说24）
师：最小公倍数。有同学已经想到了，多少？
生：（争先恐后）24！
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师：哦？这么快！有把握吗？（有！）你们能不能把自己的想法写下来？（能！）请拿出练习本，把你们找8和6的最小公倍数的过程写下来。
生拿出练习本开始写，师巡视。
（点评：运用概念，尝试寻找两个数的最小公倍数，可以帮助学生加深对公倍数和最小公倍数的理解。整个过程仍然围绕本课的引入情境，情境用足用透。）
师：有的同学已经算出来了，有的同学还在计算。这样，我先请一个做得快的同学跟大家交流交流。
投影出示一学生的做法。
师：你来说说你是怎么找8和6的最小公倍数的。
生6：我先找出6的倍数和8的倍数，再找它们共同的倍数。
师：哦，我听明白了，他是先写出6的倍数，再写出8的倍数，再找出它们共同的倍数。
师：能明白吗？谢谢！为了让大家看得更清楚，我把他的想法在屏幕上再演示一遍。
老师课件演示学生的做法。
（点评：这是最基本的做法，是每个学生都必须掌握的保底的做法，老师用心良苦，用多种方式反复讲解，让每一个学生都有所获。）
师：刚才老师在下面看的时候，发现还有一种很特别的做法，老师在屏幕上展示，看看你们能不能看懂？只看，我不说话。（师演示，不说话）
师：谁能看懂？
生7：6不是8的倍数，12也不是8的倍数，18也不是8的倍数，24既是6的倍数也是8的倍数。
师：能听明白吗？（能。）
师：（还有学生举手）你还想说，你也说说。
生8：这种做法是找6的倍数来比较，看是不是8的倍数。我觉得因为我们要找的是8和6的公倍数，因为8大一些，我们可以用8来试，这样少一些。
师：你的思维很快，我们先把他的做法弄清楚，再来看看你的做法。
师：他的做法其实就是先依次将6的倍数写下来，看看它是不是同时也是8的倍数。6的第一个倍数6不是8的倍数，12不是8的倍数，18不是8的倍数，24是8的倍数。这样24就是8和6的最小公倍数。
师：刚才他（生8）说的这种做法，老师这里也有一个展示，我们也来看看，看看是否跟他说的一样。
师展示。
师：而且他还提到，这样做可以更快一点。这几种做法，你们觉得怎样做比较好比较快就可以怎样做。
（点评：基本做法还是太麻烦了，在此基础上发展出两种形式的快捷做法，老师并不避讳，而是以学生为本，一一讲解，让思维较好的学生有更多的收获。同时，并不死板，“这几种做法，你们觉得怎样做比较好比较快就可以怎样做”。）
四、正反举例，辨析特征，帮助学生理解公倍数的概念
师：同学们，我们通过玩尾巴重新接回的游戏，认识到了两个新的概念。他们是——（公倍数和最小公倍数。）
师：刚才我们还试着找了两个数的最小公倍数。那么，你们能否用举例的形式说明什么样的数是两个数的公倍数？
生9：我觉得这样的数就是公倍数：同时能被两个数整除，就是这两个数的公倍数。
师：能不能举例说明？
生9：比如说6和4的公倍数就是24，24能被4整除也能被6整除。
师：你这样说可能大家会听得更明白：24是6的倍数，24也是4的倍数，24是6和4的公倍数。来你试试。
生9复述一遍。
师：谁还再来？
生：21是3的倍数，21也是7的倍数，21是3和7的公倍数。30是5的倍数，30也是6的倍数，30是5和6的公倍数。6是24的因数，8也是24的因数，所以24是6和8的公倍数。
师：你们举了那么多的例子，我也来举个例子。
师板书：6、9：18、24、36、48。
生：（略加思考后说）不对！24是6的倍数但不是9的倍数。48是6的倍数但不是9的倍数。
师将24和48划去。
（点评：举例是一种非常好的说明自己观点的方法，老师在这节课上反复运用。学生形成概念是实在的、有例子支撑的，是真正的理解。老师还有意举了两个反例，进一步加深公倍数的概念。）
五、提出新问题，引发新思考，在思考与回味中结束全课
师：看来同学们掌握得不错。那么关于公倍数和最小公倍数，大家还有什么问题想问的吗？
生10：我在想，求两个数的公倍数有没有一个公式呢？要不然的话，如果是两个很大的数会怎么样？累死了。
师：谢谢你，这个问题提得非常好！
生11：（生很投入，正要说，被哨声打断。）你干嘛呢！（现场大笑。）公倍数不一定要用倍数找，可不可以用因数找？
师：你们觉得呢？（可以。）
师：其实老师也有一个问题。大家有没有想过：为什么重新接回的次数就正好是两个多边形边数的公倍数呢？这个问题，就请大家课后去思考、去讨论、去探究！今天这节课就上到这里。下课！
（点评：本课在游戏中开始，在游戏中提出问题，最后再以学生提问收尾。课已完，意未尽，回味无穷。）
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