众所周知,有限元分析中单元设置不当会造成计算的误差,其中最常见的就是剪切锁和沙漏效应。
体积力势能:
其中:
以上我们讨论了剪力自锁,接下来,我们讨论下有限元仿真过程中经常会遇到的另一个问题-沙漏效应。
1、模态计算
不知道大家在做模态分析时,会不会遇到这样的情况。
还是以前文中悬臂梁的例子,从图中可以看出一阶固有频率只有6.8Hz,这个结果可信吗?我们验证下,固有频率的计算公式如下。
K 是模态刚度, M 是模态质量。
这两个参数好像都不会计算,不着急,先计算刚度。对图中振型进行观察,发现第一阶固有频率是整体表现的起伏。那我们就可以通过挠度来计算,悬臂梁的挠度计算公式,大家没忘吧。
把这个公式变形下,公式如下所示。
那么模态刚度 :
计算得到刚度:
还有质量呢?我们还是观察振型,发现这个振型几乎是整个模型参与的,那么就认为这阶模态质量就是整个模型的质量:
代入公式1中,得到一阶固有频率为 :
这个和仿真的数值差太远,为什么会这样呢?
从单元设置上,我将单元设置为减缩积分的一次单元,会不会跟这个有关呢?
2、减缩积分
上篇文章中讨论了完全积分,这次说下减缩积分。减缩积分比完全积分在每个方向上少用一个积分点,那么减速积分状态下的一次单元和二次单元积分点的分布,如下所示。
这样当单元受弯时,就会产生这样的情况,如下所示。
这样中间的横线,实际上既没有伸长,也没有缩短,所以单元没有产生正应力。此外,横线和竖线的夹角也没有发生变化,所以单元也没有产生剪应力。单元什么应力也没有,所以单元不能承受任何载荷,即刚度为零。这就是沙漏效应。
3、案例演示
把一次单元换成二次单元,在计算下模态。
仿真得到结果为91.2Hz。同理论计算值相比,只有0.6%的误差。
减缩积分的二次单元是不是就不存在沙漏现象呢?如果把网格化的粗一些,计算结果变成如图所示。
一阶固有频率变成0Hz,不光是一阶固有频率,其他阶的也都变成0或者很小的数值,如下所示。
为什么会这样呢?实际上跟单元的长细比有关,如果单元特别细长,积分点就会非常接近,极限情况两条积分线重合在一起。如下所示。
我们看变形后的单元形状,二次单元可以弯曲,那么竖线和横线的夹角是90度,所以单元没有剪应力。单元特别细长,横线基本位于中性层,那么它也不会伸长或缩短,所以没有正应力。那么沙漏效应又产生了。
4、沙漏效应总结
在减缩积分情况下,不管是一次单元还是二次单元,都有可能产生沙漏效应。要消除沙漏效应,就要提高网格质量,减小网格的长细比。
全文完!
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