强度理论概述

概述

如果所有的问题都是单向应力状态下的，那一切都会变得十分简单，毕竟获得这样的材料数据要相对容易。但是，即使是很简单的载荷，也有可能导致双向应力状态。如球形薄壁压力容器承受内压作用，单元体承受两向应力状态。

如果从应力集中的观点看，轴向拉伸载荷作用下，开槽的杆件表面也会产生两向应力状态，产生轴向拉伸和周向拉伸作用。这个是很好理解的，轴向拉伸横截面上存在正应力，在开槽区域轴向拉伸下，其径向会整体向内收缩，这种收缩明显比没有开槽区域快很多。径向收缩过程中就存在着周向应力作用，如果要比较好的查看这种应力的分布，在有限元软件里毫无疑问的优先使用极坐标系。

不同应力状态代表了不同的应力分布，它的失效有不同的原因，也就产生了许多关于失效的假说，这个就是强度理论。材料力学里面给出了几种常见的或者说常用的，实际上强度方便的假说有很多。这里再次谈及“正应力准则”、“莫尔强度理论”、“最大切应力理论”和“Mises准则”。

强度理论

最大应力准则

也称正应力准则或者Rankine准则，表述为：在多向应力状态下，当拉伸主应力达到单向抗拉强度，或者压缩主应力达到单向抗压强度时，出现失效。

上图为脆性材料的双向应力状态下的强度理论。简单看下该图主要的示意情况，说说自己的理解。第一象限（OBCD）和第三象限（OGHI）表达的是单向应力状态，第一象限仅存在拉伸，第三象限仅存在压缩。第二象限（OBJI）和第四象限（OGFD）表达的是双向应力状态，如果压缩应力和拉伸应力相等（注意有一个负号），则对应的是点划线AE。脆性材料的抗拉与抗压一般是不相同的，并且材料力学的压缩试验表明，脆性抗压能力是远高于抗拉伸能力。一种观点认为，压缩有助于材料微观裂纹的愈合，而拉伸则促进裂纹的扩张。四边形CFHJ对应的就是最大应力理论（如果没有达到四边形边线，说明拉伸或者压缩还没有达到极限）。

杆件单向拉伸极限为σut对应点划线OB，垂直方向上作用一个σ2不影响强度。对于扭转情况，横截面仅存在剪切应力作用，σx=σy=0，τxy=τ。线AE表达就是σ1=-σ2=τ，正应力在数值大小上等于剪切应力。那么扭转破坏时其应力条件为：

换句话说，抗扭（剪应力）和抗拉伸（正应力）强度应该相等。

莫尔理论

莫尔应力圆在材料力学里面有较大的篇幅，主要应用抗压和抗拉强度不等的情况，即一般指的是脆性材料，至于是不是所有脆性有这个性质或者韧性材料也具备这个性质不清楚。

σuc为抗压强度极限，σut为抗拉强度极限，而抗压通常远高于抗拉，所以左侧圆直径远大于右侧圆直径。而中间的虚线圆对应的是任意一种二向应力状态，如果该圆相切于极限应力圆（σuc和σut确定的圆）的包络线，则表明失效，即圆内是安全的，不可能超出包络线。相切是一种特殊情况，σ1为仅存在拉伸，σ2为仅存在压缩。

前面已经解释过了，下面是脆性材料双向应力强度理论图所表达的关系第一和第三象限给出一样的结果，重点是第二和第四象限。

对于受到扭转的情形，上面提到它对应线AE（σ1=-σ2），应用莫尔理论偏安全，因为取得极限位置是A′M′而不是AM，这话很多书上都有，初次见这句话有点疑惑，下面简单理解下：如果根据最大应力准则，即对应着界限是AM，而莫尔理论认为最大压缩是远大于最大拉伸，因此给出的边界线为图中紫色线条BI，其实第四象限也有对应的。那么实际必然是要处于紫色线段的下方，在拉伸与压缩相等的情况下对应极限是A′M′。（因为扭转时符号相反，数值大小相等，而又要应用莫尔理论，所以只可能是在紫色线段下方相交于AE线段。），取A′M′显然是更安全的。

A′M′可写作如下关系：

最大切应力理论

也称Tresca理论或者Guest理论，既作为屈服准则提出，也可用于疲劳破坏。塑性材料的屈服由最大切应力分量引起，根据最大切应力理论，在多向应力状态下的最大切应力达到单向受力杆件破坏时的最大正应力即产生屈服。最大切应力理论由下述六边形进行表示：

当主应力为σ1、σ2、σ3时，其最大剪切应力给出如下：

简单拉伸测试中的剪切失效应力为一半的正应力σ/2，σ为拉伸失效应力（屈服σy或者疲劳σf），如果考虑疲劳失效，则σf为受到交变拉伸或者压缩的单轴疲劳极限。对于双轴应力状态，假设为σ3是0，且在拉伸时σ1远大于σ2，那么当σ1=σf（注意前面的远大于这一条件）时会出现失效。这一现象对应着第一象限，第二和第四象限对应着双向应力状态，符号相反。当-σ1=σ2时，对应点划线AE。根据最大剪应力理论，时【σ1-（σ2）】/2=σ1，即σ1=σf/2，A′M′=OB/2。这刚好回应了简单拉伸测试条件下，最大剪应力为横截面上正应力的一半。

von Mises准则

该准则基本表达式如下所示：

这个准则有很多称呼：Maxwell-Huber-Hencky-von Mises theory 、octahedral shear stress theory 以及maximum distortion energy theory 。如果σ3为0，则表达式可以简化为如下形式，即两向应力状态下的von Mises表达式：

上述两向应力状态下的表达式为一椭圆，为上图1.23所示的虚线椭圆，这种不连续性与事实不符。对于受到扭转的，σ1=-σ2=τy，该准则可以表达为：

MA = (0.577)OB ，τy为单向杆件扭转时候的屈服强度。

WB应力工具

WB自带一个关于安全裕度计算的工具，这里带着简单介绍下，建立模型任意一个，如下图所示：

后处理插入安全工具【Stress Tool】，如下图所示：

 Maximum Equivalent Stress

该应力工具基于韧性材料的最大等效应力失效理论，就是前面提到的Von Mises准则。ANSYS提到其最适合于像铝、黄铜以及钢材等易延展的材料。前面公式已经表明，由三个正应力确定的一个标量。该理论认为其超过某一应力极限值则发生失效。

如果是韧性材料，通常取屈服极限为极限应力，而之前也提到过，是有可能以强度极限作为极限应力的。因此，安全裕度为极限应力与等效应力的比值，如果小于1，则说明极限应力不超过等效应力。

需要注意的是，其安全裕度（Safety Factor）大小取决于等效应力的准确性（极限应力是一个外在值），之前我们学习的应力集中，其局部应力出现峰值，如果不经过周密思考和分析而至今使用该公式，则安全裕度可能十分的小。因此要想正确的使用该工具，必须正确认识等效应力（需要获取合理的数值）。考虑到种种因素，实际中更多是自己判断，而非直接使用软件计算出来。Stress Ratio刚好反过来，是等效应力与极限应力的比值。Safety  Margin是用安全裕度减去1所得结果。

ANSYS自带的线性结构钢，屈服极限为250MPa，上面安全裕度计算是基于屈服极限计算出来的，简单验算即可。

而每一种因子的计算都应该准备或者指定相应的数据，可以在材料模型里面指定如屈服极限、强度极限等数据，也可以直接在应力工具下方的明细栏里面自定义

下面给出四种强度理论对应的计算公式：

需要注意的是最大剪切应力安全裕度计算公式，f是一个系数，根据我们前面的理论知悉其为0.5。这里只是稍提一下软件有这个工具，实际使用可能不会常用到。另外观察第三个公式，莫尔理论有两个需要赋予的材料参数才能计算：拉伸极限和压缩极限应力。刚开始可能不注意没有给上面的参数，比方说通常只给了弹性模量与泊松比，是无法使用应力工具的。其他更详细的介绍可以查看帮助文档。

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注：仅记录学习FEM的一个过程，表达的是个人观点与认识，欢迎一起讨论学习。有疑问可以私，本号没有留言功能，无法互动。本人小白一枚，正在努力的路上