卡尔曼是一个数学家。数学家的想法就是和工程师不一样。工程师脑子里转的第一个念头就是“我怎么控制这劳什子？增益多少？控制器结构是什么样的？”数 学家想的却是什么解的存在性、唯一性之类虚头八脑的东西。不过呢，这么说数学家也不公平。好多时候，工程师凭想象和“实干”，辛苦了半天，发现得出的结果 完全不合情理，这时才想起那些“性”（不要想歪了啊，嘿嘿），原来那些存在性、唯一性什么的还是有用的。
还是回过来看这条龙。现在，龙头、龙尾巴、龙身体都要看，不光要看，还要直接操控龙头到龙尾的每一个人。但是，这龙不是想看就看得的，不是想舞就舞得 的。说到 “看”，直接能够测量/观测的状态在实际上是不多的，所谓看，实际上是估算。要是知道龙身体有多少节（就是有多少个人在下面撑着啦），龙身体的弹性/韧性 有多少，那么捏住龙尾巴抖一抖，再看看龙头在哪里，是可以估算出龙身体每一节的位置的，这叫状态观测。那么，要是这龙中间有几位童子开小差，手不好好拉 住，那再捏住龙尾巴乱抖也没用，这时系统中的部分状态就是不可观测的。如果你一声令下，部分童子充耳不闻，那这些状态就是不可控制的。卡尔曼从数学上推导 出不可控和不可观的条件，在根本上解决了什么时候才不是瞎耽误工夫的问题。这是控制理论的一个重要里程碑。
再来看这条龙。如果要看这条龙整齐不整齐，排成纵列的容易看清楚；如果要清点人数，看每一个人的动作，排成横列的容易看清楚。但是不管怎么排，这条龙还是 这条龙，只是看的角度不同。那时候中国人的春节舞龙还没有在美国的中国城里闹腾起来，不知道卡尔曼有没有看到过舞龙，反正他把数学上的线性变换和线性空间 的理论搬到控制里面，从此，搞控制的人有了工具，一个系统横着看不顺眼的话，可以竖着看，因为不管怎么看，系统的本质是一样的。但是不同的角度有不同的用 处，有的角度设计控制器容易一点，有的角度分析系统的稳定性容易一点，诸如此类，在控制理论里就叫这个那个“标准型”。这是控制理论的又一个里程碑。
观测状态的目的最终还是控制。只用输出的反馈叫输出反馈，经典控制理论里的反馈都可以归到输出反馈里，但是用状态进行反馈的就叫状态反馈了。输出反馈 对常见系统已经很有效了，但状态反馈要猛得多。你想想，一个系统的所有状态都被牢牢地瞄住，所有状态都乖乖地听从调遣，那是何等的威风？台商的大奶们的最 高境界呀。
尽 管学控制的人都要学现代控制理论，但大多数人记得卡尔曼还是因为那个卡尔曼滤波器（Kalman Filter）。说它是滤波器，其实是一个状态观测器（state observer），用来从输入和输出“重构”系统的状态。这重构听着玄妙，其实不复杂。不是有系统的数学模型吗？只要模型精确，给它和真实系统一样的输 入，它不就乖乖地把系统状态给计算出来了吗？且慢：微分方程的解不光由微分方程本身决定，还有一个初始条件，要是初始条件不对，微分方程的解的形式是正确 的，但是数值永远差一拍。卡尔曼在系统模型的微分方程后再加了一个尾巴，把实际系统输出和模型计算的理论输出相比较，再乘上一个比例因子，形成一个实际上 的状态反馈，把状态重构的偏差渐进地消除，解决了初始条件和其他的系统误差问题。卡尔曼滤波器最精妙之处，在于卡尔曼推导出一个系统的方法，可以考虑进测 量噪声和系统本身的随机噪声，根据信噪比来决定上述比例因子的大小。这个构型其实不是卡尔曼的独创，隆伯格（Luenburg）也得出了类似的结构，但是 从系统稳定性角度出发，来决定比例因子。同样的结构大量用于各种“预测-校正”模型结构，在工业上也得到很多应用，比如聚合反应器的分子重量分布可以用反 应器的温度、进料配比、催化剂等来间接计算，但不够精确，也无法把林林总总的无法测量的干扰因素统统包括进数学模型里，这时用实验室测定的真实值来定期校 正，就可以结合数学模型及时的特点和实验室结果精确的特点，满足实时控制的要求，这或许可以算静态的卡尔曼滤波器吧。卡尔曼滤波器最早的应用还是在雷达 上。所谓边扫描边跟踪，就是用卡尔曼滤波器估计敌机的位置，再由雷达的间隙扫描结果来实际校正。实际应用中还有一个典型的问题：有时候，对同一个变量可以 有好几个测量值可用，比如有的比较直接但不精确，有的是间接的估算，有很大的滞后但精确度高，这时可以用卡尔曼滤波器把不同来源的数据按不同的信噪比加权 “整合”起来，也算是民用版的“传感器融合”（sensor fusion）吧。
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