三角形
【复习要点】
1、三角形及分类:
(1)三角形:由 的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
(2)三角形的分类:①按角分类:
锐角三角形——三个内角都是锐角的三角形
三角形直角三角形——有一个内角是直角的三角形
钝角三角形——有一个内角是钝角的三角形
②按边分类: 不等边三角形
三角形
等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形
等边三角形
2、三角形的边、角性质
(1)三角形的内角和 1800. (2)三角形的外角和为 。
(2)三角形的一个外角 和它不相邻的两个内角的和.
(3)三角形的一个外角 任何一个和它不相邻的内角.
(4)三角形的任何两边之和 第三边,两边之差 第三边.
3、三角形中的主要线段
线段名称 | 定义 | 特征 |
三角形的 角平分线 | 三角形的一个角的平分线与这个角的对 边相交,这个角的顶点和交点之间的线段 | 三角形有三条角平分线,并且都在三角形的内部,它们 相交于一点,这上点称为 . |
中线 | 连接三角形一个顶点和它对边的中点的线段 | 三角形有三条中线,并且都在三角形的内部,它们相交 于一点,这上点称为 . |
高线 | 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直 线画垂线,顶点的垂足之间的线段 | 三角形三条高的交点称为 ,锐角三角形的垂心在 其内部,直角三角形的垂心与直角顶点重合,钝角三角 形的垂心在其外部 |
中位线 | 连接三角形两边中点的线段 | 三角形的中位线 第三边且等于第三边的 |
4、等腰三角形、等边三角形及直角三角形
类别 | 性质 | 判定 |
等腰三角形 | ① 等腰三角形两底角相等(等边对等角) ② 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底 边上的中线重合(三线合一) | 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对应的边也相等(等角对等边) |
等边三角形 | 等边三角形的三边相等,三角相等,每个内角都等于600 | 1、 三边都相等的三角形是等边三角形 2、 三个角都相等的三角形是等边三角形 3、 有一个角是600的等腰三角形是等边三角形 |
直角三角形 | ① 直角三角形的两锐角互余 ② 直角三角形中,300角所对的直角边是斜边的一半 ③ 直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半 ④ 勾股定理:两直角边的平方和等于斜边的一半 | ① 有一个角是直角的三角形是直角形 ② 有一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形 ③ 勾股定理的逆定理:如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形是直角三角形 |
【例题解析】
例:(2009广东)如图所示,△ABC是等边三角形,点D是AC的中点,延长BC至点E,使CE=CD.
(1) 用尺规作图的方法,过点D作DM⊥BE,垂足为点M(不写作法,保留作图痕迹)
(2) 求证:BM=EM
解析:此题是作图与解答综合题;过一点作直线的垂线是尺规作图中的基本作图之一;三角形的“三线合一”也是三角形的常用性质之一。答案如下:(1)作图如右图所示.(2)∵△ABC是等边三角形,点D是AC的中点,∴BD平分∠ABC(三线合一);∴∠ABC=2∠DBE ;∵CE=CD,∴∠CED=∠CDE;又∵∠ACB=∠CED+∠CDE, ∴∠ACB=2∠E;又∵∠ABC=∠ACB,∴2∠DBE=2∠E;∴∠DBC=∠E,∴BD=DE,又∵DM⊥BE,∴BM=EM。
反思:尺规作图是近年中考中的必考题之一,其中三角形的高、角平分线、中线以及线段的垂直平分线等都是常考的作图,三角形的“三线合一”、“等边对等角”、“等角对等边”等也是常考知识点,需同学们熟练和灵活掌握。
【实弹射击】
一、填空题。
1.(2007重庆)已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1︰4,则这个等腰三角形顶角的度为 。
2、一个等腰三角形的两边长为2和5,则它的周长为 。
3.(2006永州市)如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC=12cm,∠ABC=300,那么底边上的高AD= cm.
第3题图 第4题图 第5题图
4、(2010梅州)如图所示,在△ABC中,BC=6cm,E、F分别是AB、AC的中点,则EF= cm..
5、如图,△ABC是等边三角形,AC∥BD,则∠CBD= .
二、解答题。
2.如图,△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,过点O作EF∥BC,交AB于E,AC于F。
(1)求证:EF=BE+CF
(2)当△ABC满足什么条件时,△OBC是等腰三角形。
3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=400,分别以AB、AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE,使∠BAD=∠CAE=900
(1)求∠DBC的度数;
(2)求证:BD=CE
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