字母系数二元一次方程组

李光红

二元一次方程组中出现字母系数（包括字母常数），是我们经常碰到的问题，它比单纯解方程组要求高一些。解此类问题首先要进行分析，挖掘题目所隐含的条件，运用转化的数学思想，巧妙地列出相应的方程或方程组来解，请看下面的例子。

例1  若

是二元一次方程组

的解，求m、n的值。

分析：根据方程组解的定义，可把

代入方程组中，这样可得到关于m、n的二元一次方程组，解之即可。

解：把

代入相应的二元一次方程组中，得

解得

例2  已知方程组

与

有相同的解，求a、b的值。

分析：两个方程组的解相同，也就是有一组x、y的值是这四个方程的公共解，当然也是其中任意两个方程的公共解。所以可以把原来的方程组打乱，重新组合起来求解。

解：由已知可得

解得

把

代入剩下的两个方程组成的方程组

得

解得

例3  关于x、y的方程组

的解中x与y的和等于1，则m的值是          。

分析：方程组的解也必然是方程

的解，也是方程

的解，把它们组合得方程组

这个方程组的解一定也是方程

的解，代入这个方程即可求得m的值。

解：由

解得

代入

，得

。

例4  k为何值时方程组

无解？

分析：将方程组消元，使之化为

的形式，然后讨论一次项系数a。当

时，有唯一解

；当

，

时，有无数个解；当

，

时，无解。反之也成立。

解：①×2＋②，得

。 ③

由原方程组无解，知方程③也无解。所以

。解得

。当

时方程组无解。

例5  小刚在解方程组

时，本应解出

由于看错了系数c，而得到的解为

求

的值。

分析：尽管看错了c，但是

和

都适合方程组中的第一个方程。将它们代入第一个方程可得到关于a、b的二元一次方程组，可解出a、b的值，再由原方程组的解是

可求出c的值。

解：∵

是方程组

的解，

∴

由方程②，得

。

设小刚把c看成了n，则

满足

由③可得

。 ⑤

由方程①⑤组成方程组

解得

所以

。

例6  要使方程组

有正整数解，求整数a的值。

分析：首先解方程组（用含a的式子表示x、y的取值），再由条件确定a的取值。

解：解方程组

得

要使x、y均为正整数，则a＋4必须是16和32的正整数因数，所以a＋4只能等于1，2，4，8，16，故整数a的值是－3，－2，0，4，12。

［练一练］

1、方程组

的解中x与y相等，则k＝           。

2、在二元一次方程组

中，当m＝            时，这个方程组有无数组解。

3、已知关于x、y的方程组

的解是

求a＋b的值。

4、已知关于x、y的方程组

的解也是方程

的解，求m。

5、小明和小言同时解方程组

小明把方程①抄错了，求得的解为

小言把方程②抄错了，求得的解为

求原方程组的解。

答案：1、0    2、9    3、

    4、m＝1。    5、