列方程（组）解应用题

中考数学重难点专题讲座

第六讲 列方程（组）解应用题

                           智康·刘豪

【前言】在中考中，有一类题目说难不难，说不难又难，有的时候三两下就有了思路，有的时候苦思冥想很久也没有想法，这就是列方程或方程组解应用题。方程可以说是初中数学当中最重要的部分，所以也是中考中必考内容。从近年来的中考来看，结合时事热点考的比较多，所以还需要考生有一些生活经验。实际考试中，这类题目几乎要么得全分，要么一分不得，但是也就那么几种题型，所以考生只需多练多掌握各个题类，总结出一些定式，就可以从容应对了。

第一部分 真题精讲

【例1】2010，西城，一模

“家电下乡”农民得实惠，根据“家电下乡”的有关政策：农户每购买一件家电，国家将按每件家电售价的

补贴给农户，小明的爷爷2009年5月份购买了一台彩电和一台洗衣机，他从乡政府领到了390元被贴款，若彩电的售价比洗衣机的售价高1000元，问一台彩电和一台洗衣机的售价各是多少元？

【思路分析】首先仔细看题，明确说明彩电售价比洗衣机售价高1000，那么一方面可以设一个未知数彩电为x，那么洗衣机自然就可以用x-1000表示，另一方面也可以直接设两个未知数彩电x和洗衣机y，利用高1000的条件制造等量关系。其次说补贴是售价的13%，而又明确给出小明的爷爷领到了390元，所以这390元就是售价的补贴。于是建立方程13%(x+x-1000)=390或者方程组

。这一题要把握的就是两个等量关系，一个是售价差等于1000，另一个是售价的13%等于补贴。于是可以得出答案。

【解析】（列方程组解）

解：设一台彩电的售价为

元，一台洗衣机的售价为

元. 

        根据题意得：

 

        解得

 

        答：一台彩电售价2000元，一台洗衣机售价1000元． 

【例2】2010，石景山，一模

某采摘农场计划种植

两种草莓共6亩，根据表格信息，解答下列问题：

项目                   品种	A	B
年亩产（单位：千克）	1200	2000
采摘价格（单位：元/千克）	60	40

 

(1)若该农场每年草莓全部被采摘的总收入为

元，那么

两种草莓各种多少亩? 

    (2)若要求种植

种草莓的亩数不少于种植

种草莓的一半，那么种植

种草莓多少亩时，可使该农场每年草莓全部被采摘的总收入最多?

【思路分析】本题依然是通过方程表达总量去解决。总收入就是A的亩产乘以价格加上B的亩产乘以价格，列出方程即可。至于第二问则是先根据“种植

种草莓的亩数不少于种植

种草莓的一半”列出不等式，求出A种草莓的范围，然后列出函数式来看在范围内总收入最大值是多少。

【解析】

解：设该农场种植

种草莓

亩，

种草莓

亩   

    依题意，得：

…………2分

    解得：

，

 

    (2)由

，解得

    设农场每年草莓全部被采摘的收入为y元，则：

    

 

    ∴当

时，

有最大值为464000 

    答：(l)

种草莓种植2.5亩, 

种草莓种植3.5亩．

        (2)若种植

种草莓的亩数不少于种植

种草莓的一半，那么种植

种草莓2亩时，可使农场每年草莓全部被采摘的总收入最多.

【例3】2010，海淀，一模

2009年12月联合国气候会议在哥本哈根召开．从某地到哥本哈根，若乘飞机需要3小时，若乘汽车需要9小时．这两种交通工具平均每小时二氧化碳的排放量之和为70千克，飞机全程二氧化碳的排放总量比汽车的多54千克，分别求飞机和汽车平均每小时二氧化碳的排放量． 

【思路分析】本题比较简单，但是涉及了时事热点，看似复杂，实际一分析就发现等量非常好找。一个是单独排放量之和等于70，另一个是排放总量之差等于54.于是可以列方程组求解。

【解析】

解：设乘飞机和坐汽车每小时的二氧化碳排放量分别是x千克和y千克.  

依题意，得

 

解得

 

答: 飞机和汽车每小时的二氧化碳排放量分别是57千克和13千克 

【例4】2010，大兴，一模

某中学拟组织九年级师生外出．下面是年级组长李老师和小芳同学有关租车问题的对话：

李老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座客车每辆每天的租金多200元．”

小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车外出参观，一天的租金共计5000元．”

根据以上对话，求客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？

【思路分析】本题两句话就是两个等式，第一句话的等式两边就是租金的差价，第二句话的两边是总租金的和。本题虽然也比较简单，但是随时可能有变化的空间。例如说八年级师生一共有xx人，问怎样租车最经济。那么依然是做一个函数然后看函数的最小值。这种思路中考中也会比较容易考到，大家可以多发散思考一下。

【解析】

解：设客运公司60座和45座客车每天每辆的租金分别为

元和

元． 

由题意，列方程组

 

解之得

 

答：客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是900元和700元

【例5】2010，西城，二模

《喜羊羊与灰太狼》是一部中、小学生都喜欢看的动画片，某企业获得了羊公仔和狼公仔的生产专利．该企业每天生产两种公仔共450只，两种公仔的成本和售价如下表所示．如果设每天生产羊公仔x只，每天共获利y元．

（1）求出y与x之间的函数关系及自变量x的取值范围；

（2）如果该企业每天投入的成本不超过10000元，那么要每天获利最多，应生产羊公仔和狼公仔各多少只？

类别	成本（元/只）	售价（元/只）
羊公仔	20	23
狼公仔	30	35

【思路分析】本题是刚刚火热出炉的二模题，结合了社会的热点动画片来设立问题。虽然是应用题，但是却涉及了函数的思想，造成了一定的困扰。分析本题首先需要清楚“获利”这个概念，就是售价减成本再乘以数量。其中，每天生产的数量是定值450，所以狼公仔就要用羊公仔数去表示，然后合理列出函数表达式。第二问夹杂进了不等式，需要判断出x的范围上限和下限分别代表什麽意思，尤其是明白一次函数的单调性。

【解析】

解：（1）根据题意，得

=(23－20)

+(35－30)(450－

)， 

即

=－2

+2250． 

自变量x的取值范围是0≤x≤450且x为整数． 

（2）由题意，得20

+30(450-

)≤10000． 

解得

≥350． 

由（1）得350≤x≤450．

∵

随

的增大而减小，

∴当

=350时，

值最大．

最大=－2×350+2250=1550． 

∴450－350=100．

答：要每天获利最多，企业应每天生产羊公仔350只，狼公仔100只.

【总结】列方程解应用题作为必考内容，难度一般都不会很大。但是这类问题的特点是冗余信息多，干扰思考。例如动辄来个知识背景介绍，或者模拟情景对话，简单说就是废话非常多。所以作为考生来说，碰到此类问题，第一步就是要从废话中提取有用信息，然后设元，将废话转化为数学元素。第二步就是提取题目中的等量信息。一般来讲，等量信息无非分两种，一个是个体的关系，如例5中的狼羊公仔数量和，以及不同客车的租金差；另一部分就是总体的关系，例如总收入，总支出之类的。顺风逆风问题似乎近年来很少考到，大多是和钱有关的事情（笑）。所以需要考生关注“总和”“比…少”“比…的几倍多”这种字眼，分析出等量关系去列出方程。具体操作来看，笔者比较倾向于非函数问题列二元方程去算，例如例1的解法，这样的好处是比较直观，在较为复杂的等式中如果一直用某个未知数的关系去表示另一个未知数容易造成等式过于冗长，容易出错。

第二部分 发散思考

【思考1】2009，朝阳，一模

改革开放30年来，我国的文化事业得到了长足发展，以公共图书馆和博物馆为例，

1978年全国两馆共约有1550个，至2008年已发展到约4650个. 2008年公共图书馆的数量比1978年公共图书馆数量的2倍还多350个，博物馆的数量是1978年博物馆数量的5倍. 2008年全国公共图书馆和博物馆各有多少个？

【思路分析】本题看起来数字很多，什么1978，1550，4650，2008等等等等，但是年份都是多余的信息。仔细分析有用信息就是两馆和，两馆分别的增长量。于是设78年的两馆数量求解。但是注意的是最后题目问的是2008年的数量，所以不要忘记算一下再作答。

【思考2】2009，崇文，一模

将进价为40元的商品按50元售出时，能卖出500个，经市场调查得知，该商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？

【思路分析】本题也是和钱有关的题目，但是列出来的方程式一个一元二次方程，所以需要仔细对“每涨价1，销售量减10”这个关系进行分析。所以直接设涨价为x最为合适，利用8000元的总利润列出方程求解即可。

【思考3】2009，北京

北京市实施交通管理新措施以来，全市公共交通客运量显著增加.据统计，2008年10月11日到2009年2月28日期间，地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量总和为1696万人次，地面公交日均客运量比轨道交通日均客运量的4倍少69万人次.在此期间，地面

公交和轨道交通日均客运量各为多少万人次？

【思路分析】中考原题，正如在上面总结中所说，这类问题一定要关注“总和”，“比xxx几倍少/多”这种字眼。本题来说既然求各为多少万人次，直接设两个元。然后利用一次总和，利用一次倍差关系，轻松列出两个方程构成方程组求解。

【思考4】2009，西城，一模

某运输公司用10辆相同的汽车将一批苹果运到外地，每辆汽车能装8吨甲种苹果，

 或10吨乙种苹果，或11吨丙种苹果．公司规定每辆车只能装同一种苹果，而且必须

     满载．已知公司运送了甲、乙、丙三种苹果共100吨，且每种苹果不少于一车．

 （1）设用x辆车装甲种苹果，y辆车装乙种苹果，求y与x之间的函数关系式，并写

      出自变量x的取值范围；

 （2）若运送三种苹果所获利润的情况如下表所示：

苹果品种	甲	乙	丙
每吨苹果所获利润（万元）	0.22	0.21	0.2

 设此次运输的利润为W（万元），问：如何安排车辆分配方案才能使运输利润W

 最大，并求出最大利润．

【思路分析】本题虽然是设函数的问题，但是利用“共”100吨这个关系列出包含x,y的函数即可。第二问则是在第一问的基础上继续建立函数，化简后利用第一问的自变量范围求最小值。细心把握题中信息就可以了。

第三部分 思考题解析

【思考1解析】

解：设1978年全国有公共图书馆x个，博物馆y个 

由题意，得

 

解得

   （有些同学没看清问题就直接写这个上去了，丢分很可惜）

则

，

. 

答：2008年全国有公共图书馆2650个，博物馆2000个.  

【思考2解析】

解：设涨价x元，则售价为（50+x）元． 

依题意，列方程，得

（50+x-40）（500-10x）=8000． 

整理，得

x2-40x+300=0，

解得

x1=10，x2=30． 

答：售价应定为60或80元． 

【思考3解析】

设轨道交通日均客运量为

万人次，地面公交日均客运量为

万人次．

依题意，得

解得

答：轨道交通日均客运量为353万人次，地面公交日均客运量为1 343万人次．

【思考4解析】

（1）∵ 

， 

           ∴ y与x之间的函数关系式为 

．  

           ∵ y≥1，解得x≤3．

∵ x≥1，

≥1，且x是正整数，

∴ 自变量x的取值范围是x =1或x =2或x =3．  

（2）

． 

    因为W随x的增大而减小，所以x取1时，可获得最大利润，

此时

（万元）． 

            获得最大运输利润的方案为：用1辆车装甲种苹果，用7辆车装乙种苹果，2辆车装丙种苹果．