中考数学模拟试卷压轴题精选

中考模拟试卷压轴题精选1

2007年各地中考模拟试卷压轴题精选1

1．（本题满分12分）

如图，二次函数

（m<4）的图象与

轴相交于点A、B两点．

（1）求点A、B的坐标（可用含字母

的代数式表示）；

（2）如果这个二次函数的图象与反比例函数

的图象相交于点C，且

∠BAC的余弦值为

，求这个二次函数的解析式．

   

  

解：（1）当

，

，………………………………（1分）

，

．……………………………（2分）

∵

，∴A（–4，0），B（

，0）………………………………（4分）

（2） 过点C作CD⊥

轴，垂足为D， 

cos∠BAC

,设AD=4k,AC=5k, 则CD=3k. ……………………（5分）

∵OA=4,∴OD=4k–4, 点C(4k–4,3k) . …………………………………（6分）

∵点C在反比例函数

的图象上，∴

. ………………（7分）

.   ……………………………（8分）

∴C(2，

).……………………（1分）     ∵点C在二次函数的图象上，

∴

，………（1分） ∴

 ………………(10分)

∴二次函数的解析式为

.  ……………………………（12分）

2．（本题满分14分）

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90o，∠C＝60°，AD＝3cm，BC＝9cm．⊙O1的圆心O1从点A开始沿折线A—D—C以1cm/s的速度向点C运动，⊙O2的圆心O2从点B开始沿BA边以

cm/s的速度向点A运动，⊙O1半径为2cm，⊙O2的半径为4cm，若O1、O2分别从点A、点B同时出发，运动的时间为ts

（1）请求出⊙O2与腰CD相切时t的值；

（2）在0s＜t≤3s范围内，当t为何值时，⊙O1与⊙O2外切？

解：（1）如图所示，设点O2运动到点E处时，⊙O2与腰CD相切．

过点E作EF⊥DC，垂足为F，则EF＝4cm．………………1分

方法一，作EG∥BC，交DC于G，作GH⊥BC，垂足为H．

通过解直角三角形，求得EB＝GH＝

cm．………………4分

所以t＝（

）秒．………………6分

方法二，延长EA、FD交于点P．通过相似三角形，也可求出EB长．

方法三，连结ED、EC，根据面积关系，列出含有t的方程，直接求t．

（2）由于0s<t≤3s，所以，点O1在边AD上．………………7分

如图所示，连结O1O2，则O1O2＝6cm．………………8分

由勾股定理得，

，即

．………………10分

解得t1＝3，t2＝6（不合题意，舍去）．………………12分

所以，经过3秒，⊙O1与⊙O2外切．………………14分

3．（本题满分12分）

正方形ABCD的边长为4，P是BC上一动点，QP⊥AP交DC于Q，设PB=x,△ADQ的面积为y.

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

（2）（1）中函数若是一次函数，求出直线与两坐标轴围成的三角形面积，若是二次函数，请利用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标.

（3）画出这个函数的图象.

（4）点P是否存在这样的位置，使△APB的面积是△ADQ的面积的

，若存在，求出BP的长，若不存在，说明理由.

解:（1）画出图形，设QC=z，由Rt△ABP~Rt△PCQ，

=

，

z=

，①

y=

×4×（4-z）,②                                         第3题图（1）略

把①代入② y=

x2-2x+8（0＜x＜4）.

（2）y=

x2-2x+8=

(x-2)2+6.

∴对称轴为x=2,顶点坐标为（2，6）.

(3)如图所示                                            第25题图（2）

(4)存在，由S△APB＝

S△ADQ，可得y＝3x，

∴

x2—2x+8＝3x，

∴x＝2，x＝8(舍去)，

∴当P为BC的中点时，△PAB的面积等于△ADQ的面积的

.

4．（14分）函数y=-

x-12的图象分别交x轴，y轴于A,C两点，

（1）求出A、C两点的坐标.

（2）在x轴上找出点B，使△ACB~△AOC，若抛物线经过A、B、C三点，求出抛物线的解析式.

（3）在（2）的条件下，设动点P、Q分别从A、B两点同时出发，以相同的速度沿AC、BA向C、A运动，连结PQ，设AP=m，是否存在m值，使以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出所有的m值；若不存在，请说明理由. 

解．（1）A（-16，0） C（0，-12） 2分

（2）过C作CB⊥AC，交x轴于点B，显然，点B为所求， 3分

则OC2=OA×OB 此时OB=9，可求得B（9，0） 5分

此时经过A，B，C三点的抛物线的解析式为：

y=

x2+

x-12 8分

（3）当PQ∥BC时，△APQ ~△ACB 9分

得

=

10分

∴

=

解得m=

11分

当PQ⊥AB时，△APQ ~△ACB 12分

得：

=

13分

∴

=

  解得m=

14分

5．（本题满分10分）如图，在直角坐标系中，以点A(

，0)为圆心，以

为半径的圆与x轴交于B、C两点，与y轴交于D、E两点.

（1）求D点坐标．

（2）若B、C、D三点在抛物线

上，求这个抛物线的解析式．

（3）若⊙A的切线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点N，切点为P，∠OMN=30º，试判断直线MN是否经过所求抛物线的顶点？说明理由．

  

  解：（1）连结AD，得OA=

，AD=2

  ……………………1分

    ∴OD=3， D(0，-3)  ………………………………………………2分

   （2）由B(-

，0)，C(3

，0)，D(0，-3)三点在抛物线

上，……3分

    得  

    解得 

  ………………………………5分

    ∴

   …………………………………………………………6分

   （3）连结AP，在Rt△APM中，∠PMA==30º，AP=2

    ∴AM=4

， M (5

，0)  …………………………7分

    

  

    ∴N(0，-5)  ……………………………………………8分

    直线MN解析式为：

    抛物线顶点坐标为(

，-4)  ………………………………9分

    ∵

    ∴抛物线顶点在直线MN上．  ……………………………10分

6、（12分）如图3.以A(0，

)为圆心的圆与x轴相切于坐标点O,与y轴相交于点B,弦BD的延长线交x轴的负半轴于点E, 且∠BEO = 600 , AD的延长线交x轴于点C.

   （1)分别求点E, C的坐标．

    (2)求经过A、C两点，且以过E而平行于y轴的直线为对称轴的抛物线的函数解析式．

(3)设抛物线的对称轴与AC的交点为M，试判断以M点为圆心, ME为半径的圆与☉A的位置关系，并说明理由．

  解略

7.

一个圆柱的一条母线为AB,BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的表面爬行到点C．

⑴如图①，如果底面周长为24cm,高为4cm,那么蚂蚁的最短行程是多少cm?

⑵如图②，如果底面半径为rcm,高为hcm,那么你认为蚂蚁可能有哪几种行程较短的路径?试画出平面展开图说明路径(至少画两种不同的路径),不必说明理由．

⑶通过计算比较②中各种路径的长度，你能得到什么一般性的结论？或者说，蚂蚁选择哪条路径可使行程最短？

解略

8、（12分）某企业有员工300人，生产A种产品，平均每人每年可创造利润

万元（

为大于零的常数）。为减员增效，决定从中调配

人去生产新开发的B种产品，根据评估，调配后，继续生产A种产品的员工平均每人每年创造的利润可增加20%，生产B种产品的员工平均每人每年可创造利润1.54

万元。

（1）调配后，企业生产A种产品的年利润为_________万元，企业生产B种产品的年利润为_________万元（用含

和

的代数式表示）。若设调配后企业全年总利润为

万元，则

与

之间的关系式为

＝____________。

（2）若要求调配后，企业生产A种产品的年利润不小于调配前企业年利润的

，生产B种产品的年利润大于调配前企业年利润的一半，应有哪几种调配方案 ？请设计出来，并指出其中哪种方案全年总利润最大（必要时，运算过程可保留3个有效数字）。

（3）企业决定将（2）中的年最大总利润（设

＝2）继续投资开发新产品。现有6种产品可供选择（不得重复投资同一种产品）各产品所需资金及所获年利润如下表：

产           品	C	D	E	F	G	H
所需资金（万元）	200	348	240	288	240	500
年 利 润（万元）	50	80	20	60	40	85

如果你是企业决策者，为使此项投资所获年利润不少于145万元，你可以投资开发哪些产品？请写出两种投资方案。

解：（1）

，

，

（2）由题意得

    解得

＜

≤100。注：写97.5＜

≤100或97.4＜

≤100均视为正确

    ∵

为整数    ∴

只能取98、99、100。

    故共有三种调配方案：

①202人继续生产A种产品，调98人生产B种产品；

②201人继续生产A种产品，调99人生产B种产品；

③200人继续生产A种产品，调100人生产B种产品；

又

＝

，由于

＞0，函数

随

的增大而增大。故当

＝100，即按第三种方案安排生产时，获总利润最大。

（3）当

＝2时，最大总利润为788万元。根据题意，可投资开发产品F、H或C、D、E或C、D、G或C、F、G。

9、已知：如图1，直线y=kx+3(k>0)交x轴于点B，交y轴于点A，以A点为圆心，AB为半径作⊙A交x轴于另一点D，交y轴于点E、F两点，交直线AB于C点，连结BE、CF，∠CBD的平分线交CE于点H.

（1）求证：BE=HE；

（2）若AH⊥CE，Q为 ⌒(BF)上一点，连结DQ交y轴于T，连结BQ并延长交y轴于G，

求AT•AG的值；

（3）如图2, P为线段AB上一动点(不与A、B两点重合)，连结PD交y轴于点M，过P、M、B三点作⊙O1交y轴于另一点N，设⊙O1的半径为R，当k=4(3)时，给出下列两个结论：①MN的长度不变；②R(MN)的值不变.其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值. 

 

证明：(1)∵AE⊥BD，∴⌒(BE)=⌒(DE)，∴∠EBD=∠ECB.∵∠ABH=∠DBH，∠BHE=∠ECB+∠CBH，∠HBE=∠DBH+∠EBD，∴∠BHE=∠HBE. ∴BE=HE. 

解： (2)连结QC、TB，则∠BCQ+∠CBQ=90°，又∠BDQ+∠ATD=90°，而∠BCQ=∠BDQ，∴∠CBQ=∠ATD=∠ATB，∴ΔABG∽ΔATB，∴AB2=AG•AT，∵AH⊥CE，∴H为CE的中点，∴BE=2(1)EC，∴ΔBEO∽ΔCBE，∴BO(OE)=EC(BE)=2(1). 设⊙A的半径为R，由AB2－OA2=BO2，OE=R－3，得R2－32=4(R－3)2，解得，R=5，或R=3(不合题意，舍去).∴AT•AG=AB2=25. 

(方法二提示:可连结AD,CD证ΔBAG∽ΔTAD)

(3)答：②R(MN)的值不变.

证明：作O1K⊥MN于K，连结O1N、PN、BM，

则MN=2NK， 且∠N O1K=∠NPM，

∴R(MN)=O1N(2NK)=2sin∠NO1K=2sin∠NPM， 

由直线y=4(3)x+3 得 OB=OD=4，OM⊥BD，

∴∠BMO=∠DMO，

又∠BMO=∠ABM+∠BAM，∠DMO=∠MPN+∠PNM，

∵∠ABM=∠PNM，

∴∠MPN=∠BAM=∠NO1K，R(MN)=2sin∠BAM=2×AB(BO)= 5(8)，  

   所以R(MN)的值不变，其值为 5(8).

10.（15分）已知抛物线

与直线

：

的交点除了原点

外，还相交于另一点

.

（1）分别求出这个抛物线的顶点、点

的坐标（可用含

的式子表示）；

（2）将抛物线

沿着

轴对折（翻转

）后，得到的图象叫做“新抛物线”，则：

　　①当

时，求这个“新抛物线”的解析式，并判断这个“新抛物线”的顶点是否在直线

上；

②在①的条件下，“新抛物线”上是否存在一点

，使点

到直线

的距离等于线段

的

？若存在，请直接写出满足条件的点

坐标；若不存在，请说明理由。

解略

11、（8分）如图：直线y=x-2与x轴、y轴分别交于点A、B，M（t，0）是x轴上异于A的一点，以M为圆心且过点A的圆记为⊙M.

（1）求证：直线AB将⊙M的周长分为1：3两部分；

（2）若直线AB被⊙M所截得的弦长为

，求t的值；

（3）若点N是⊙M上的一点，是否存在实数t，使得四边形ABMN为平行四边形？若存在，求出t的值，并写出N的坐标；若不存在，说明理由.

解略