初中几何题利用平行线的另类证法妙解

在初中阶段如何证明两条直线平行，主要有以下几种常规思路：

【思路1】平行线的判定：

    （1）同位角相等，两直线平行；

    （2）内错角相等，两直线平行；

    （3）同旁内角互补，两直线平行.

【思路2】平行于同一条直线的两条直线平行.

【思路3】解析法，利用一次函数比例系数相等.

【思路4】A字型相似法.

然而在多年研究各地中考题的过程中发现，有一种方法好似藏在深闺之中，发现它并灵活使用者少之又少.

【妙法介绍】大家知道平行四边形有一种判定方法为“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，因此我们在证明两条直线平行时，不妨将这两条直线构造到一个四边形中，然后证另外两条边“平行且相等”，从而得出此四边形为平行四边形，再由平行四边形的性质即可证出结论.我们姑且称之为“构造平行四边形法”.

此法利用转化思想，另辟蹊径，解决特殊问题时，定会让你豁然开朗！

下面介绍利用此法妙解2018年安徽省压轴题与哈尔滨市压轴题:

题1：（2018年安徽中考数学试卷第23题）

如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90º，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F.

（1）求证：CM=EM；

（2）若∠BAC=50º，求∠EMF的大小；

（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM.

图1

图2

本文主要研究第（3）问，此问本人在六月份的公众号文章里已介绍了16种解法，不再赘述，有兴趣的读者可以参阅下文：

 《信息解构整合，破解压轴难题 ——2018安徽压轴题的深度剖析》

在这16种解法中，我对利用构造“平行四边形”的两种方法情有独钟，请看：

方法1：（构造平行四边形）

 

简析：过点N作AB的平行线交EM的延长线于点P，∴∠P=∠MEB=30º,∴PN=2MN=CM=AE,∵PN∥AE,PN=AE,∴四边形AEPN是平行四边形，∴AN∥EM.

方法2：（构造矩形）

 

简析：过点点A作AP⊥ME交ME的延长线于点P，则AP∥NM，∠AEP=∠FEM=30º，∴AP=,∵AP∥NM，AP=NM，∠P=90º,∴四边形APMN为矩形，∴AN∥EM.

题2：（2018年哈尔滨市中考数学第27题）

已知，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，直线

与x轴、y轴分别交于B、C两点，四边形ABCD为菱形.

（1）如图1，求点A的坐标；

（2）如图2，连接AC，点P位△ACD内一点，连接AP、BP，BP与AC交于点G，且∠APB=60°，点E在线段AP上，点F在线段BP上，且BF=AE，若∠AFE=30°，求AF²+EF²的值;

（3）如图3，在（2）的条件下，当PE=AE时，求点P的坐标.

图1

图2

图3

哈尔滨的几何压轴题向来难度大，全国闻名！

前两问简析：（1）（-7/2,0）；

（2）如上图，连接CE、CF，∵∠APB=∠ACB=60°，∴点A、B、C、P共圆，∵∠CAE=∠CBF，在△CAE与△CBF中，∵AC=BC，∠CAE=∠CBF，AE=BF，∴△CAE≌△CBF（SAS），∴易证△CEF为等边三角形，∠AFC=90°，∴AF²+EF²=AF²+CF²=AC²=49.

    本题第（3）问难度较大，其核心部分需证明△APF为等边三角形，据说爻爻大仙和涛神团队已经研究出了23中解法，实在厉害，佩服！本人也做了一些尝试，对“构造平行四边形法”比较中意，不知爻爻大仙和涛神团队的23种解法中有没有此法，若有雷同，实属巧合！

如图，在第（2）问已证得△CEF为等边三角形的基础上，分别过点P、点E作AF的垂线，垂足分别为点M、N，连接CP，则EN为△APM的中位线，∴PM=2EN，又∵在Rt△ENF中，∠AFE=30°，∴EF=2EN，∴PM=EF=CF，又∵PM∥CF，∴四边形PMFC为矩形，∴PC∥AF，∠AFP=∠CPF=60°，∴△APF为等边三角形.

再结合（2）问结论，可以求出PM=CF=EF=√21，最后可以求得点P坐标为（-5/2,3√3).

       通过以上两例，可以发现，利用“构造平行四边形法”证明两条直线平行往往可以达到事半功倍的效果，我们教师在教学过程中要注重知识之间的前后联系，引导学生构建知识体系，做到融会贯通.