巧用数学方法妙解生物难题

 数学归纳法

在解有关肽链和氨基酸的计算时会用到一个公式：当氨基酸脱水缩合形成的是链状肽时,氨基酸数-肽链数=肽键数=失去的水分子数。在推导这个公式时可以用数学归纳法。

例  现有m个氨基酸经脱水缩合形成了n条肽链，问形成过程中失去的水分子数是多少？

 

【解析】m个氨基酸经脱水缩合形成了n条肽链,失去的水分子数是( m₁-1)+( m₂-1)+ (m₃-1)+(.........)+ (m_n-1)=m-n，即失去的水分子数=氨基酸数-肽链数。当氨基酸脱水缩合形成的是环状肽时,不管形成多少个环状肽，都是氨基酸两两之间会脱一分子水形成一个肽键，故失去的水分子数=氨基酸数=肽键数。

点评：数学归纳法是一种数学证明方法。较简单的数学归纳法一般两步，首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。遇到有数据规律性的题目时，可选择应用数学归纳法的思维解题。

 排列和组合法

例  小麦粒色受不连锁的三对基因A/a、B/b、C/c控制。A、B和C决定红色，每个基因对粒色增加效应相同且具叠加性，a、b和c决定白色。将粒色最浅和最深的植株杂交得到F1。F1的自交后代中，与基因型为AaBbcc的个体表现型相同的概率是

A. l/64            B. l/16       C. 3/16       D. 15/64

【解析】已知小麦粒色受不连锁的三对基因A/a、B/b、C/c控制，三对基因遵循基因的自由组合定律．A、B和C决定红色，每个基因对粒色增加效应相同且具叠加性，将粒色最浅和最深的植株杂交，就是AABBCC与aabbcc杂交，则F1为AaBbCc．由于每个显性基因累加效应相同，因此，F1的自交后代中，与AaBbcc表现型一样的个体需满足有两个显性基因即可。F1基因型AaBbCc自交产生的后代可先用基因分离定律分析每个显性基因出现的概率均为l/2，然后应用排列组合法算出后代有“两个显'的概率：C₆²(1/2)²(1/2)⁴=15/64。答案选D。

点评：排列法和组合法是有区别的。每一个组合中的各元素是没有顺序的，无论元素间怎样排列，都只当作一种组合方式。而排列就是把每一种顺序都作为一种组合方式。合理选择应用排列或组合方法可将题目化繁为简。

乘法原则和加法原则

例   一对表现型正常的夫妇生了一个白化色盲的男孩，问再生一个患两种病孩子的概率是多少？再生一个患一种病的孩子的概率又是多少？

【解析】色盲是伴x染色体隐性遗传病，白化病是常染色体隐性遗传病，由题意可推得其父母的基因型AaX^BY和AaX^BX^b 。先根据基因分离定律独立分析两种病的遗传情况，白化病患者：正常=1:3；色盲：正常=1:3。算患两种病孩子的概率时，属独立事件同时发生用乘法原则即1/4X1/4=1/ 16。算患一种病的孩子的概率时，分患白化不患色盲和患色盲不患白化两种情况，需要联合使用乘法原则和加法原则。1/4X3/4+1/4X3/4=6/ 16=3/8.

点评：乘法原则指两个独立事件共同出现的概率等于它们各自出现的概率之积。公式：P（AB）=P（A）×P（B）。加法原则指设有两个事件A和B事件为互斥事件，则出现事件A或事件B的概率等于它们各自概率之和。公式：P（A或B）=P（A）＋P（B）。在解题过程中究竟运用乘法原则还是加法原则，需要根据题目要求选择使用。较复杂的题目往往需两种方法联合使用。

 移轴法

例  如图1表示20℃时玉米光合作用强度与光照强度的关系，S 1 、S 2 、S 3 表示所在部位的面积，下列说法中不正确的是（   ）

 

A．S 1 +S 3 表示玉米呼吸作用消耗的有机物量

B．S 2 +S 3 表示玉米光合作用产生的有机物总量

C．若土壤中缺Mg，则B点右移，D点左移

D．S 2 -S 3 表示玉米光合作用有机物的净积累量

【解析】根据题意和图示分析可知：图中A点只进行呼吸作用，因此OA段可表示呼吸速率，

0-D段光照增强，但呼吸速率不变，则S1+S3可表示0-D段植物呼吸作用消耗有机物量；

图1纵轴CO2吸收量表示净光合速率，OA段可表示呼吸速率，用移轴法将图中横轴下移到AE位置，则纵轴变为CO2固定量即实际光合速率。光合作用产生的有机物总量为实际光合产量=S 2 +S 3，而玉米光合作用有机物的净积累量=实际光合产量-呼吸作用消耗量=S 2 +S 3-（S1+S3）=S 2-S1故AB为正确答案，D为错误答案。Mg是合成叶绿素的组成元素，若植株缺Mg，叶绿素合成受阻，植物光合作用减弱，但呼吸速率不变，图1净光合量S2变小，则B点右移，而D点左移，C正确。答案选D。

点评：在解坐标曲线图题目时，根据需要可将图中的横轴或纵轴做恰当的移动，改变自变量或因变量的指标，从而快速地理解和运用图文信息准确答题。

 

数形结合法

例  自然条件下，种群呈“S”型增长。假设某地一种群的K值为200，N表示该种群数量，据右表分析不正确的是

曲线上的点	种群大小	（K－N）/K
S1	20	0.90
S2	50	0.75
S3	100	0.50
S4	150	0.25
S5	180	0.10

 

A．(K-N)/K值越小，种群增长速率越小

B．该种群的K值为200

C．渔业捕捞作业需控制剩余量在S3点

D．蝗虫防治应在蝗虫达到S3点之前进行

【解析】利用数形结合法把表格中相关数据绘制图ABC，并在图上标注对应的种群数量S1-S5。据图BC可知随(K-N)/K值变小，种群增长速率是先增大再减小。故答案A错误。种群数量为S3时，(K-N)/K=0.5，则N=K/2=100，故K=200，B正确。种群数量为K/2时，种群数增长速率最大，野生动、植物资源利用(如渔业捕捞)时需控制剩余量在K/2，即S3点，能获得较多的资源又不影响资源更新。C正确。而防治有害昆虫(如蝗虫)时要防止增长过快，应控制在S3点之前，D正确。答案选A。

点评：数形结合法可巧解表格类疑难问题。利用数形结合法可将抽象的数字语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”的形式把抽象思维和形象思维有机结合，有效地将问题迎刃而解。

除以上方法外，还可应用集合法、斜率法、图像分析法等。灵活运用有关数学思维来解决生物难题，不仅能够启迪学生的智慧,开拓学生的思路,而且有助于培养学生的创新思维能力.