自然数系的二进制表达法
数是人类在长期实践活动中逐渐形成的抽象概念，它们主要用来表示事物的多少（这种数是根据一一对应的原理确定的）和事物间的次序（这种数是依靠一种其元素依次排列的标准集合来确定）。我们熟知的自然数就具有这两方面的功能。
抽象的数的概念要通过适当的方式表达，其表现形式在人类文明的不同时期有不小的差异，现在普遍使用印度－阿拉伯数码1,2,3,……和十进位值制来表达自然数。严格地说，全体自然数组成的无穷集合N＝（1,2,3,……）和在其中定义的加法（＋）和乘法（·）运算一起构成自然数系。
所谓十进位值制（有时也简称为十进制），是在历史长河中形成的一种自然数系的表达方式，它只需要利用十个不同的数码（现在通用的是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9。此时我们称这种表达方式的基为十），按逢十进一的进位法，以及数码在不同的位置表示不同的值的规定，就能比较方便地表达数的大小、次序并进行运算，而且它适用于所有的自然数。
我们知道，在历史上还出现过其他的表达数的方式，如现在仍在使用的、用于表示时间的六十进制。特别引起人们关注的是自然数系的二进位值制（简称二进制）表达方式，因为现代电子计算机就使用二进制。《数学百科全书》（科学出版社，2002,北京。译自苏联的《数学百科全书》）中的相关条目称，二进制是“基为2的位值记数系统”。也就是说，在这个系统中，只需要利用两个数码（现在通用的是0和1），按逢二进一的进位法，以及数码在不同的位置表示不同的值的规定，就能像十进制一样，对所有的自然数表示其大小、次序并进行运算；此处定义的一位数的加法为1＋1＝10,一位数的乘法为1·1＝1。用二进制表达的自然数很容易转换成该数的十进制表达，反之亦然。它们之间的对应，如：0对应于0,1对应于1,2对应于10,3对应于11,4对应于100,5对应于101,6对应于110,7对应于111,8对应于1000,9对应于1001。2007对应于11111010111。袁向东（中国科学院数学与系统科学研究院研究员）
邵雍(公元1011~1077年)，字尧夫，谥康节，是中国北宋时期著名的哲学家，主要哲学著作有《皇极经世书》。他发展《周易》象数学，以“数”作为其哲学思想的逻辑起点，提出一种《周易》先天学。此学有关于伏羲八卦与六十四卦卦序排列的四种图表，称为《伏羲四图》，即《先天图》。
近二十多年来学术界讨论的一个非常热门的话题就是：德国大哲学家、数学家莱布尼茨（GottfriendWilhelmLeibniz
这一问题之所以存在长期争论，有人归结为这样一种原因，即懂得《周易》的学者不大懂得自然科学，而懂得自然科学的学者又往往不懂《周易》。这确实是一个重要的原因。但这又并不是绝对的，莱布尼茨用二进制的视角去读《先天图》，并不需要他很懂《周易》；而《周易》有几千年的发展历史，谁又可以说完全弄懂了它？况且，邵雍的《皇极经世书》又是一部很难懂的书。
在笔者看来，首先应懂得怎样去读邵雍的《先天图》，从中看它的卦序是不是二进制的记数方法，它如何是或如何不是二进制的记数方法。如果说邵雍当时已经发明、并自觉运用了二进制的记数方法，那莱布尼茨发明二进制时是否受了邵雍《先天图》启发的问题就已经不那么重要了。如果不是这样，那莱布尼茨发明二进制时即使看到了邵雍的《先天图》，那又能说明什么呢？
邵雍的《先天图》四图的卦序都遵循着一种逻辑法则，当时被称为“加一倍法”。所谓“加一倍法”即是今天严格意义上的“二进制”的记数方法。其中有二图比较直观，兹附图下：
邵雍的《先天图》无论八卦还是六十四卦，其卦序顺读都是始《乾》终《坤》，我们的绝大多数学者都按顺读的方法来读它，这当然不容易发现其中的二进制的记数方法。但邵雍已经指出：“夫易之数，由逆而成矣。”（《皇极经世书》卷十三）他告诉我们考察《先天图》的易数关系的要诀是“逆数”，其中包括卦序的“逆数”和爻序的“逆数”。卦序的“逆数”是从《坤》卦至《乾》卦，如果我们将卦画中的设定为“0”，设定为“1”，那上面的《伏羲八卦次序图》正好是按二进制记数方法所表示的0－7的自然数表：
《伏羲六十四卦方位图》在六十四卦的圆图中，又置有一个六十四卦的方图。无论圆图和方图，卦序之中都内在地体现严格意义上的二进制的记数方法。其中的方图更为典型而直观，读懂它的要诀就是“逆数”，即由左向右，第一行始坤终否，接第二行始谦终遯，再接第三行始师终讼，以下接第四行、第五行、第六行、第七行，最后接第八行始泰终乾。而这正是按二进制方法所表示的0－63的自然数表：
需要指出的是，《先天图》的二进制数表是以《周易》卦画为形式的。从易数的观点看，卦画所表示的是数，而不是象。其计数方式是通过两个基本的卦画符号和来进行的。而爻位就是二进制数的位值。先天八卦图体现的是三位二进制数表（0－7），先天六十四卦图体现的是六位二进制数表（0－63）。
以上所说，是读懂《先天图》卦序的要诀：卦序的“逆数”。而要进一步理解先天易数的具体进位方法，还有一个要诀，就是爻序的“逆数”：由低数位向高数位进位，是上爻向五爻进位，五爻向四爻进位，四爻向三爻进位，三爻向二爻进位，二爻向初爻进位。而进位的原则是逢二进一位。
现代国内外有学者提出邵雍《太极图》的易数关系并不是一种自觉运用的二进制的记数方法。我们认为，如果邵雍不是自觉运用“二进制”的记数方法排出这一卦序，我们想不出他还可能用其他方法排出这种卦序，而正巧与“二进制”的数表完全相吻合。
因为大家都知道，如果我们对六十四卦任意排列组合，那可以排出的卦序的种类，应是64的阶乘：1乘2乘3乘4……乘64,其结果将是一个无比庞大的数字。而邵雍能一卦不差地排列出符合二进制数表的卦序，如果将这说成是一种“无意识的巧合，”此种巧合的机率渺乎其微，几乎完全不可能，这反过来说明邵雍已经发明并能熟练运用“二进制”的记数方法。问题在于，邵雍虽然已经发明了二进制的方法，但除了能逻辑地处理卦序关系外，还不能将此二进制的记数方法派上其他用场。
邵雍的这项发明，已为当时的程颢所理解，并为之命名为“加一倍法”。程颢认为邵雍的“加一倍法”比扬雄的太玄数更高明。当时邵雍听到程颢的话之后惊抚其背说：“大哥，你恁聪明！”
邵雍的“加一倍法”受到后来的朱熹的重视。在朱熹那里，“加一倍法”又被称作“加一位法”。而“加一倍法”的要点就在于，加一位，即加一倍。
按照邵雍“加一倍法”的原理，每增加一个爻位（实即数位），二进制数表中所包含的自然数的数目便会增加一倍，比如二进制六个数位包含了六十四个自然数（0－63），若增加到七个数位，那自然数的数目也便翻了一番，而包含一百二十八个自然数（0－127）。若增加到八个数位，便包含二百五十六个自然数（0－255）。而若从八个数位增加到十五个数位，那自然数的数目便翻七番，而包含三万二千七百六十八个自然数（0－32,767）。如此类推，数位越多，包含的自然数的数目也越多。而即使再多数位，其中包含的自然数的数目再多，要用二进制的记数方法写出它所包含的所有自然数，也并不困难。
这也就是说，只用两个符号便可以以一种明白无误的逻辑方法（可操作、可验证的）表示任何自然数。反过来也可以说，一切自然数都可以用两个符号以逻辑的方法表示出来。
邵雍的“加一倍法”意味着中国早在九百多年前的北宋时期，已经发明了二进制的记数方法，这是中国先哲的智慧和光荣，我们作为后人应该记住它，而不应该抹煞它！
本文得到董光璧教授拨冗审读指正，在此谨致谢意。(作者单位：湖南大学岳麓书院)
伏羲六十四卦方位图（即圆图方图）
伏羲八卦次序图
《莱布尼茨二进制与伏羲八卦图考》
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