这两周草根身体不适,基本半天吊水、半天上课,平台也随之停更了近两周,回想前三年冬季,年年住院,想来自己也得悠着点,只有自己不倒下才有为家庭尽职的基础!
期中考试也过去几周了,有两道初三期中考题一直萦绕心头,值得写下来与大家分享……
(其中部分解法并非笔者原创,有朋友告知、有群中学习,在此一并表示感谢。)
壹
精彩试题
分析
排除干扰,展现试题本来“面目”
求tan∠BAnC
思路一
直接加高,构造直角三角形,求解三角比
注意到一个细节,本题中'∠AnBC'与'∠AnCB的外角'皆为正切值已知的定角,上述两种解法也恰各用了其一,可见加高也是有学问的,不能盲目,例如:
直接这样加,虽然两个定角用地妥妥的,然而所求角∠BAnC并不在直角三角形中,无用
做AnB的垂线构造直角三角形,由于用不到两个定角,也无用
思路二
那有没有可能把'斜着'的角“放平”呢?笔者在群内就看到了一种解法,不禁点赞!
构造共边共角型,转化所求∠BAnC
思路三
用高中差角正切公式(不推荐!)
用高中、非初中大纲知识,解之不武,最关键是失去了锻炼思维能力的机会,实得不偿失,但作为一种解法,列举于此!
贰
精彩试题
如图,在矩形ABCD中,点E是边AB上一点,AE=2,BE=4,联结DE,做∠DEF=45°交边BC于点F,若AD=x,BF=y,求y关于x的函数解析式(不要求写出定义域)
思路一
第一步:延长构造平行八
第二步:过点E做EP⊥DC于点P,延长DC至点Q使得PQ=EP,构造等腰Rt△EPQ
第三步:再从全局观察,形成了一组“共边共角型”相似,从而解决了问题。
如果说第一步还属于尝试,那第二步就是有意为之构造共边共角型了。
总结:构造共边共角型
对于△ABC而言,怎样在BC延长线上确定点C,使得△ABC∽△BAD?
方法一:延长BC,至点D,使得BD=AB^2/BC
方法二:做∠D=∠BAC
例如:对于60°角而言,可以通过构造等边三角形,从而构造共边共角型!
思路二
第一步:做∠DEG=90°交BC于点G,构造“一线三等角型”,计算得:BG=8/x
第二步:考虑做GP⊥EG交EF于点P,利用条件'∠GEF=45°”构造等腰Rt△EGP。
有了∠B=∠EGP=90°,进一步想到过点P做PH⊥BF于H,继而第二次构造一线三等角型(这次是一组全等三角形),从而可得:PH=8/x、GH=4。
再从全局观察,出现了平行A,于是就找到联系变量x、y的几何关系。
总结:构造一线三等角型
要构造一线三等角,一般要找到一条直线上的两个等角。
思路三
在边AD上截取AP=AE=2,在边BC上截取EB=BQ=4,联结EP、EQ
因为 ∠EPD=∠EQF=135°,
∠PED+∠QEF=∠PED+∠PDE=45°
所以∠QEF=∠PDE,所以△PED∽△EQF
总结:构造相依型相似
若∠A=∠B=90°,∠ECD=α
在AE上找一点F,在BD上找一点G,分别使得∠AFC=∠CGD=α,
则∠ACF=∠BCG=90°-α
所以∠FCE=∠GCD=180°-2(90°-α)-α=α
从而易证△CFE∽△CGD
换句话,如图所示,只要AE、BD够长,总能构造这组相依型相似。
思路四
用高中和角正切公式(不推荐!)
处理相似问题,有时免不了构造相似三角形,一般的策略是加高或加平行线,但有时仅会这两招还不够,本文介绍的这三种特殊相似三角形的构造策略,值得大家揣摩,说不定关键时刻就能起到决定性作用。
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