中考重点之托勒密定理及推广秒杀最值问题

托勒密定理的推广在最值问题中的使用

事情是这样的，前些天，小泽老师在家长群里发现这样一个题目： 

如图：△ACD中AD= √10，CD=√2,∠ACB=90°

，AC=2BC，求BD的最大值。

当然，这样一个题目是及其普通，也不算特别难的题目，只是在群中看到了一些解法使我稍稍有点想法，为这样的题目找一个“秒杀”解法。

解法一：

取AC的中点M,再以点C作为旋转点将CD顺时针旋转90°，从而构造△BCM和△CDD'共顶点旋转，可得：△BCD≌△MCD'，则BD=D'M

再取CD的中点Q，连接MQ、D'Q，则有

QM+D'Q≥D'M，解得最大值为√10

解法二：

过点C将CD顺时针旋转90°，同时在放大为CD的两倍长，这样构造出相似的两个三角形ACB和DCD'共直角顶点旋转，即：△BCD∽△ACD'

此时0.5AD'=BD,且有AD+DD'≥AD'

综合两种解法可知，解法二比较直接，但是基础比较薄弱的学生就会说：辅助线可能想不到额，这该怎么办？那么我们就说一下下面的问题，不用辅助线秒杀此题：

托勒密定理

  几何教科书中的“托勒密定理”，出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。摘出并完善后的托勒密(Ptolemy)定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质，从这个定理我们还可以可以推出正弦、余弦的和差公式等一系列的三角恒等式，当然本文就不过分的展开了，只对其公式做出证明，对其定理进行有限的推广。

证明：圆内接凸四边形ABCD中，满足公式:

AC ×BD =AD×BC+AB×CD

法一：证明：作∠BAF=∠CAD,则△ABF ∽△ACD 可得 BF×AC=AB×CD.又△ABC∽△AFD得：DF×AC=BC×AD.两式相加，得证。

法二：令∠MAB=∠DAC,使AM交CB的延长线于点M,可证△ABM∽△ADC，则有AB×CD=AD×BM(1)

也可证△ACM∽△ADB,则有AC×BD=AD×CM(2),

由（2）-（1）得：AB×CD+BC×AD=AC×BD

托勒密定理在解决圆的内接凸四边形的边长关系时非常简洁、方便，但仅限于该凸四边形共圆。如果凸四边形不共圆时，各边长将满足怎样的关系呢？

定理的一般性使用（定理推广）

提问：在任意凸四边形ABCD，必有AC·BD与AB·CD+AD·BC有何关系，仍然满足等量关系吗？

如图，在四边形ABCD中,作∠ABE=∠ACD,∠BAE=∠CAD

由辅助线可知：△ABE∽△ACD，则BE×AC=AB×CD(1), 

∵∠BAE=∠CAD ∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC    

即∠BAC=∠DAE，∴△ABC∽△AED，则ED×AC=AD×BC(2)

由（1）+（2）得：AC.(BE+ED)=AB.CD+AD.BC

∵BE+ED≥BD ∴AC×BD≤AB×CD+AD×BC

当且仅当点E落在线段BD上时，等号成立

此时∠ABD=∠ACD ∴ABCD四点共圆

总结

由上可知：

托勒密定理：圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积

定理推论：任意凸四边形ABCD，AC·BD≤AB·CD+AD·BC

而且当ABCD四点共圆时取等号。

此时我们再看例题：

解法二的辅助线做法其实就是定理的证明思路。那么既然我们对定理有了充分的认识，也就可以直接套用结论了,即：

BD×CA≤CD×AB+BC×AD

则BD≤（CD×AB+BC×AD）÷CA,

我们设BC=x,CA=2x,而CD=√2,AD=√10

即BD≤（√2×√5x+√10x）÷2,BD≤√10

巩固练习

练习1：在四边形ABCD中,BC=CD，∠BCD=120°，若AB=4,AD=5,则对角线AC的最大值为：

练习2：已知△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，D为△ABC外一点，且CD=2AD=2，则△BCD面积的最大值为：

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