前面讲过“手拉手模型”。我们知道,世间万物,很多都是成对存在的,既然有手拉手,自然也有脚拉脚。好啦,今天我们就来讲一下脚拉脚模型。
“脚拉脚模型”
如图中等腰△ABC与等腰△DCE中,底角顶点相交于点C,顶角∠A与∠D互补,这就是“脚拉脚模型”
连接BE,取中点F,连接AF,DF。
则有结论: AF⊥DF
法一:倍长中线法
证明:延长AF至点G,使AF=FG
易知:△AFB≌△GFE ∴ AC=GE
∠ACD=360°-(∠ACB+∠DCE+∠BCE)=360°-90°-∠ACB=270°-∠BCE
∠DEG=∠DEB+∠GEB
=∠DEC+∠BEC+∠ABC+∠CBE
又∵ ∠CBE+∠BEC=180°-∠BCE
∠DEC+∠ABC=∠ACB+∠DCE=90°
∴ ∠DEG=180°-∠BCE+90°
=270°-∠BCE
∴∠DEG=∠ACD
∴易知:△ACD≌△DEG
∴AD=DG
又∵ F为AG的中点
∴AF⊥DF
补充:本题也可以利用对角互补导角
如图,延长AF至G,使得AF=FG
∴易知:△AFB≌△GFE
∴AB//EG
延长EG,AC,交于点H
∵AB//EG
∴∠BAC=∠CHG
又∵∠BAC+∠CDE=180°
∴∠CHG+∠CDE=180°
∴∠DEG+∠DCH=180°
∴∠DEG=∠ADC
∴易证:△ACD≌△DEG
∴AD=DG
又∵ F为AG的中点
∴AF⊥DF
法二: 构造共顶点手拉手
如图,延长BA至M,使AM=AB
则△ACM为等腰三角形
同理:构造等腰△CDN
∴ 易知:△BCM∽△ECN
连接ME,BN
易知:△BCN∽△MCE
∴ ∠CMB=∠NBC
∴ △MRO∽△BRC
∴ ∠MOR=∠RCB=90°
∴ BN⊥ME
又∵AF为△BCM的中位线
∴ AF//ME
∴ ∠OPE=90°
同理可知:∠OQF=90°
∴四边形PFQO为矩形
∴AF⊥DF
取BC中点G,CE中点H,
由此易知:△AGF≌△FHD
∠1=∠4,∠2=∠3
∴ ∠AFD=∠GFH-(∠2+∠4)=180°-∠CGF-(∠2+∠4)
∠AGF=180°-(∠1+∠2)
∴∠CGF=90°-(∠1+∠2)=90°-(∠2+∠4)
∠AFD=180°-90°+(∠2+∠4)-(∠2+∠4)=90°
∴AF⊥DF
特殊情况:当等腰△ABC与等腰△DCE,都是等腰直角三角形时
有AF⊥DF,且AF=DF
如图所示:
证明方式同上.
小结:脚拉脚模型的结论比较简单,但是注意,证明过程的辅助线作法,以及一些几何的转化方式,比结论本身更加重要。
例1:已知:在Rt△ABC中,AB=BC,在Rt△ADE中,AD=DE,连结EC,取EC的中点M,连结DM和BM.如果将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角,如图②,那么BM和DM有什么关系?
不用多说,我们刚讲的脚拉脚模型,我们已经知道结论:BM⊥DM,且BM=DM,但是,请注意,这里是大题,我们要进行严格证明才行
证明:延长DM至点F,使得DM=DF,连接FC,BF
∴△ADB≌△CFB(SAS)
∴∠DEM=∠FCM ,DM=FM
∴DE//CF
如图,延长AD,CF,使它们相交于点G
∵DE//CF
∴∠AGC=90°
又∵∠ABC=90°
∴∠BAC=∠BCG
∴易知:△ABD≌△CBF(SAS)
∴BD=BF,且∠DBF=90°
∴△DBF为等腰直角三角形
又∵M为DF中点
∴BM⊥DM,且BM=DM
注意:这里哪些点连哪些点很重要,前面的证明中都有给出,千万不能连错。以及辅助线的做法,向哪里作辅助线,要搞清楚方向,以免出错.
例2:已知正方形ABCD和正方形CGEF,且D点在CF边上,M为AE中点,连接MD、MF.
(1)如图1,请直接给出线段MD、MF的数量及位置关系是__________.
(2)如图2,把正方形CGEF绕点C顺时针旋转,使得B,C,E共线,则(1)中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请给出你的结论并证明.
(1) 解析:如图,延长DM交EF于点P
则易知:△ADM≌△EPM
∴DM=PM=FM
又∵PE=AD=DC,EF=FC
∴FP=EF-PE
FD=FC-DC
∴FP=FD
∴△DFP为等腰直角三角形
∴MF⊥MD
(2) 解析:如图,延长DM,与CE相交于点N
易知:△ADM ≌△ENM
∴AD=DC=NE
∴△DCF与△NEF中,
DC=NE,∠DCF=∠NEF,CF=EF
∴△DCF≌△NEF
∴DF=FN
∴MF=MD,且MF⊥MD
例3:如图,∠BAC=60°,∠CDE=120°,AB=AC,DC=DE,连接BE,P为BE的中点.
(1)如图1,若A、C、D三点共线,求∠PAC的度数;
(2)如图2,若A、C、D三点不共线,求证:AP⊥DP;
(1)解析:如图,延长AP至点F,使得AP=PF
易知:△ABP≌△FEP
∴∠BAP=∠EFP
∴EF//AB
∵ AB=AC=EF,CD=DE
∴ AC+CD=EF+DE
∴ AD=FD
∴ △ADF为等腰三角形
∴ ∠PAC=∠PFD=30°
(2)解析:如图,延长AP至点F,使得AP=PF
∴由(1)易知:△ABP≌△FEP,AB//EF,AC=EF
如图,延长AC,交EF于点G
∵ AB//EF
∴∠BAC=∠CGE=60°
∵∠CGE+∠CDE=180°
∴∠DEF+∠GCD=180°
∴∠DEF=∠ACD
∴△ACD与△DEF中
AC=EF,∠DEF=∠ACD,CD=DE
∴△ACD≌△DEF
∴AD=DF
∴ △ADF为等腰三角形
∵P为AF中点
∴AP⊥DP
例4:如图,△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,在四边形BDEC中,DB=DE,∠BDE=2α,M为CE的中点,连接AM、DM
① 在图中画出△DEM关于点M成中心对称的图形
② 求证:AM⊥DM
③ 当α=_______,AM=DM
① 如图所示
② 解析:由① 可知,△DME≌△GMC
∴DE//CG,DE=DB=CG
如图,延长GC,DB交于点H
则,∵DE//CG
∴∠BDE+∠BHC=180°
又∵∠BDE+∠BAC=180°
∴∠BHC=∠BAC
∴∠ABH=∠ACH
∴∠ABD=∠ACG
∴△ABD与△ACG中
AB=AC,∠ABD=∠ACG,BD=CG
∴△ABD≌△ACG
∴AD=AG
又∵M为DG的中点
∴AM⊥DM
③ 由② 知:AM⊥DM
要使AM=DM
则∠ADM=45°即可
即当α=45°时即可
总结:1.会辨别“脚拉脚模型”2.明确“脚拉脚模型”结论,做到心中有数3.掌握该模型常见作辅助线的方法,这样才能在无数的变化中,找出暗藏的玄机
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