疯狂解题——费马点进阶2

如图，△ABC内有一动点P，求3PA+4PB+5PC的最小值.

根据之前的方法，需要通过图形的旋转将

将△PBC绕点C逆时针旋转90°，并按照3:4的比例放大，

得到△EDC，连接PE、BD.

由旋转可得，∠PCE=90°，PC：CE=3:4，

所以PC：PE=3:5，PB：DE=3:4，

因为点A、D均为定点，所以当A、P、E、D四点共线时，

3PA+4PB+5PC=3（PA+PE+DE）取得最小值.

将△PBC绕点B顺时针旋转a度，tana=4:3，并按3：5的比例放大，

得到△EBD，连接PE、CD.

易证，∠BPE=90°，∠BCD=90度，

PC：DE=3:5，PB：BE=3:5，PB：PE=3:4，

因为点A、D均为定点，所以当A、P、E、D四点共线时，

3PA+4PB+5PC=3（PA+PE+DE）取得最小值.