疯狂解题——三爪图

1、如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D为弧BC上的任一点（不与B、C）重合，连接DA、DB、DC，则DA=DB+DC.

延长DB至点E，使得BE=CD，连接AE.因为∠ACD+∠ABD=∠ABE+∠ABD=180°，所以∠ACD=∠ABE，又AB=AC，所以△ACD≌△ABE，所以∠CAD=∠BAE，从而得到∠EAD=60°，推出△AED为等边三角形，所以DA=DE=DB+BE=DB+DC，即证.

若点D在优弧BAC上呢？如图

在BD上取一点E，使得AE=AD，因为∠ADB=∠ACB=60°，所以△ADE为等边三角形，所以AD=AE=DE，∠AED=60°，所以∠AEB=120°.因为∠ADB=60°，∠ADC=60°，所以∠ADC=120°，又∠ABE=∠ACD，所以△ABE≌△ACD，所以BE=CD.所以DA=DE=DB-BE=DB-DC.

2、如图，⊙O是等腰直角三角形ABC的外接圆，点D为弧BC上的任一点（不与B、C）重合，连接DA、DB、DC，

3、如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，点D为弧BDC上的任一点（不与B、C）重合，连接DA、DB、DC，

易证△ADF为等腰三角形，作AG⊥DF于点G，

所以2cosaDA=DF=DB+BF=DB+DC.

当点D在BC上方时，2cosaDA=DF=DB-BF=DB-DC.