【模型背景】

①1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提了个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？

此最大视角问题称之为“米勒问题”，其结论称之为“米勒定理”。

【问题铺垫】

圆外角：如图，像∠APB这样顶点在圆外，两边和圆相交的角叫圆外角

相关结论：圆外角等于这个角所夹两条弧的度数差（大减小）的一半

【模型解析】

①米勒问题：

已知点A、B是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的一动点，则

点P在何处时，∠APB最大？

ON→悬杆所在直线，OM→地平面，P点→眼睛

②米勒定理：

当且仅当△ABP的外接圆与边OM相切于点P时，∠APB最大。

【问题解决】

结论：当点P不与AB共线时，作△PAB的外接圆，当圆与直线l相切时，∠APB最大

证明：在直线l上任取一点M（不与P点重合），连接AM、BM,∠AMB即为圆O的圆外角。

∴∠APB＞∠AMB，∠APB最大

∴当圆与直线l相切时，∠APB最大

最大张角模型方法归纳：

问题：

两定点A、B在一角的一条边上，另有一个动点P在这个角的另一条边上，P点在何处∠APB最大（ 动点成线+动点所对的边为定值.）

解决方法：

过A、B两点作圆和另一边相切，当P运动到切点时，∠APB最大

（动点所成的线与过动点和定长的圆相切∵有切线和弦 ∴必有弦切角→构造母子型相似或切割线定理）

理论依据：

同弧所对的圆周角相等，圆外角小于圆周角，圆内角大于圆周角

在解题中的应用

【模型例题】

如图，已知点A、B的坐标分别是（0,1）、（0,3），C是x轴正半轴上一动点，当∠ACB最大时，点C的坐标为。

解析过程：

【模型习题】

在直角坐标系中，给定两点N（1,4），M（-1,2），在x轴的正半轴上求一点P，使∠MPN最大，则点P的坐标为。

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