模块一线三等角是一线三垂足的一般形式，平时练习中更常见的是一线三垂足，其完整图形如图所示.
模块结论：当∠A=∠DBE=∠C时，有△ADB∽△CBE.
因为两个图形本质上是相同的，我们只选择图1-1进行证明.
∵∠DBC=∠A+∠ADB=∠DBE+∠EBC，且∠A=∠DBE
∴∠D=∠EBC,
又∵∠A=∠C，
∴△ADB∽△CBE.
这就是一线三等角的主要结论，利用相似可得比例线段，进而列出方程求参数（线段长）；如果题中再给出一组相等线段，比如BD=BE，那么两个相似的三角形就变成了全等三角形，可以用来证明线段相等.特别的，当三个等角α变成90°时，三等角就是三直角，所以又称为”一线三垂足”，其结论与一线三等角结论完全相同.上面两个图形都包含了相似（全等）三角形，结合图形的形状特点，我们习惯于叫它“K字型”相似（全等）.
实际上一线三垂足的核心要素是∠A和∠DBE两个直角，如图1-3，
当图形中已经出现两个直角∠A和∠DBE时，只要在∠MBN的边BM上任取一点M作BN的垂线就可以构成一线三垂足模块的完整图形，所以双直角或两垂足是我们构造一线三垂足图形的提示条件.甚至有的时候只具备一个直角就可以构造三垂足模块，特别是在直角坐标系中时，此种构造方法用的更是广泛.如图1-4，
△ABC中，∠C=90°,但是两直角边跟坐标轴不是垂直或平行的关系，如果我们过点C作x轴的平行线（不破坏直角为原则），再分别过点A，B作x轴的垂线，设交点依次为D，E，则构成一线三垂足模块的完整图形，图中各线段之比就可以用△ABC的顶点坐标来刻画，从而列出方程求解.
下面我们就通过具体的题目看一看一线三等角和一线三垂足模块在题目中的具体展现形式.
题目1：（2017年宁波市初中毕业生学业考试说明例卷T12）
如图2，在边长为1的正方形ABCD中放入四个小正方形后形成一个中心对称图形，其中两顶点E，F分别在BC，AD上，则放入的四个小正方形的面积之和是____.
反思：本题求解的关键是要根据正方形的四个角都等于90°，再结合图形迅速确定一线三垂足模块，然后将残缺图形补充完整，再利用模块的结论列比例式.对模块的熟悉程度决定了解决本题效率的高低.设参数是本题的另外一个要点，通过假设其中一条线段的长，利用比例或相等，将图中其他线段表示出来，再列方程求解是代数法解决相关问题的常用手段.
下面我们再来看看一线三垂足在平面直角坐标系中是如何展示的.
题目2：如图3，点C(0,2)，点M(4,0)，以M为圆心，2为半径的圆与x轴交于A，B，CE是过点C的圆M的切线，点E是切点.求点E的坐标.
反思：(1)解题思路是怎么形成的？执因探果，执果索因，根据题中条件（切线和切点）与所求目标（点E坐标）步步深入，多想一想这个条件能得出什么，那个条件能得出什么，对所求目标抽丝剥茧，还需要知道什么，怎么求出来，一步一步最终形成解题思路.
(2)模块图形的补缺.每一个模块都有其自身独特的完整的图形，每一个图形又有其特有的核心要素.一线三垂足模块的完整图形是同一直线上有三个垂足，同侧有三个直角，期核心要素是直角.广义上说，只要看到直角都可以考虑一线三垂足，事实上本题确实是这样的，原始条件中甚至连一个直角都未曾给出，但是我们根据切线切点非常自然的构造了第一个直角，根据本题目标E点坐标通过作坐标轴的垂线又构造第二个直角，这就离一线三垂足越来越近了，近得只剩下一条辅助线的距离.我们之所以能顺利的构造出前两个直角，也得益于模块化的学习，比如看到切点必连（切）点（圆）心，欲求坐标必作垂线等，这些结论或操作规范已经成为了大多数同学的习惯性动作，对于快速解题很有帮助.
(3)直角坐标系中的一线三垂足模块与纯几何图形中的一线三垂足模块的不同之处.纯几何图形没有坐标，不能通过点的坐标来刻画线段长度，基本上只能用几何法构图解决，但是坐标系中就不一样了，我们可以借助于点的坐标、线的解析式等方法，引入一个参数，采用解析法求解.本题原有的Rt△CME的两直角边均不与坐标轴垂直（平行），在构造一线三垂足时，通过添加辅助线，使得两个相似三角形的直角边都是和坐标轴垂直（平行），这样的一种转变不放成为“斜转直”，其好处是个直角边的比值完全可以用图形中点的坐标来刻画，只需设一个参数，即可表示出绝大多数线段的长度，从而根据相似比列出方程进行求解.
解决直角坐标系中的一线三垂足问题的基本步骤是：
①连结必要的线段：如点心线，轴垂线等，构造全等或相似；
②设所求点的坐标，引入参数；
③用含参数的代数式表示出相关线段的长度；
④代入比例式解方程.注意检查结果的合理性.
最后再给出一道题目共大家练习：
联系客服
