2017-11-12 莫敖兄弟
摘要
本文提出“五音各分阴阳，二变介乎其间”的观点。利用十二律吕作为输出五音的模板，结合Euler函数研究了一步律序u与七步律序v的共轭变换关系。其数学形式为：
v≡u×7 (mod 12)，u≡v×7 (mod 12)
由于φ(12)和φ(10)相等，且12和10有共同的互素因子7，进而给出了河图映射的数学形式：
w≡v×7 (mod 10)
如果采用河图数A≡w+5 (mod 10)，则有线性变换关系：
A≡v×7+5 (mod 10)
以黄钟均为例，枚举如下：
0变居于黄钟子位0，阳宫五；1变至于林钟未位7，阴徵二；2变至于太簇寅位2，阳商九；3变至于南吕酉位9，阴羽六；4变至于姑洗辰位4，阳角三；5变至于应钟亥位11，阴宫十；6变至于蕤宾午位6，阳徵七；7变至于大吕丑位1，阴商四；8变至于夷则申位8，阳羽一；9变至于夹钟卯位3，阴角八；10变至于无射戌位10，变宫五；11变至于仲吕巳位5，变徵二。
关键词：Euler函数；十二律；五音二变；河图
目录
一、引言
二、五音十二律
2.1 十二律吕
2.2 五音二变
三、河图映射
3.1 河图映射
3.2 黄钟均
3.3 简并映射图
附录：Euler函数φ(n)
一、引言
前作
音律小常识（摩西面，2017/02/16）介绍了音律的基本常识。首先从听觉系统对音调处理的对数特征着手，分析了谐波基频的前十个倍频的归一化相对值，使用连分数展开和有理近似得到十二律位。其次考虑三分损益法所生五音十二律中黄钟无法还原的问题，引出十二平均律；并探讨了一步律序和七步律序。而后由十二平均律弦率的连分数展开的有理近似出发，导出纯律。在纯律的问题上，给出：
黄钟子弦率1/1，其倒数除以2，得黄钟子弦率1/2；应钟亥弦率9/17，其倒数除以2，得大吕丑弦率17/18；太簇寅弦率8/9，其倒数除以2，得无射戌弦率9/16；南吕酉弦率3/5，其倒数除以2，得夹钟卯弦率5/6；姑洗辰弦率4/5，其倒数除以2，得夷则申弦率5/8；林钟未弦率2/3，其倒数除以2，得仲吕巳弦率3/4；以及蕤宾午弦率5/7。
随后给出了纯律的合生关系，并结合纯律图给出协和度的定性表述。最后考虑可见光作为一个八度在人眼视觉上应用纯律进行分析，得到人眼视杆细胞和三种视锥细胞感光敏峰满足纯律关系：
黄钟子弦率1/2处为374.75nm、黄钟子弦率1/1处为749.50nm对应的颜色因恰在紫外与红外的缘故，定为黑色。自右至左，弦率逐渐减小，对应着可见光的波长逐渐减少，因此颜色自红至紫渐变。其中仲吕巳弦率3/4处为562.13nm（对应人眼红视锥细胞敏峰），蕤宾午弦率5/7处为535.36nm（对应人眼绿视锥细胞敏峰），林钟未弦率2/3处为499.67nm（对应人眼视杆细胞敏峰），无射戌弦率9/16处为421.59nm（对应人眼蓝视锥细胞敏峰）。
现在本文将从一步律序和七步律序出发，结合线性变换给出河图映射的数学表达式。
二、五音十二律
2.1 十二律吕
由前述可知，律中典范之数十二，出于度量。而在Euler函数中，φ(12)=4。这意味着在前十二个自然数中与12互素的数只有四个，亦即1、5、7、11。这在平面几何图形上，可以理解为圆周上均匀分布的十二个点能够用连续的折线遍历的做法有四种，亦即相隔1/12圆周、相隔5/12圆周、相隔7/12圆周与相隔11/12圆周。因为相隔11/12圆周可视作反向相隔1/12圆周，相隔5/12圆周可视作反向相隔7/12圆周，所以相互独立的操作其实只有两种，不妨选择相隔1/12圆周与相隔7/12圆周。而这就对应着一步律序与七步律序。
在十二平均律中，一步律序对应着一个八度之中十二个半音的相对音调递增的次序，是个公比为21/12的数列。下表中的x是以黄钟子位的音调为单位的相对音调值，这也就给出了一步律序的解释。
而七步律序对应着一个公比为27/12的数列，约为3/2。因此取2/3这个弦率作为生律因子，构造的生律法就是三分损益法。依此法可以递生五音。下表中的x是以黄钟子位的音调为单位，应用三分损益法单向生律所得的在一个八度内的相对音调值，这也就给出了七步律序的解释。
不难推知，所谓十二律吕，就好似一个输出五音的模板。但是三分损益法有个误差问题，就是黄钟不能还原。因此，将七步律序应用到三分损益法所生之律时，其律位相对于标准律位就会随着七步律序的增大而增大。
黄钟九变至于夹钟，相对标准律位的误差近17.60%。十变至于无射，相对标准律位的误差近19.55%。十一变至于仲吕，相对标准律位的误差近21.51%。而十二变至于清黄钟（黄钟不能还原），相对标准律位的误差近23.46%；误差已经很大了。
2.2 五音二变
因为使用三分损益法所生之律的律位相对于标准律位的误差随着七步律序的增大而增大，故取黄钟子九变至于夹钟卯为止，此十律位对应五音各分阴阳；十变至于无射戌，定名变宫；十一变至于仲吕巳，定名变徵。取一步律序变量作u，七步律序变量作v，则有：
v≡u×7 (mod 12)
u≡v×7 (mod 12)
一步律序与七步律序的共轭变换
律
名
一步
律序
七步
律序
音
名
黄钟子00变阳宫
大吕丑17变阴商
太簇寅22变阳商
夹钟卯39变阴角
姑洗辰44变阳角
仲吕巳511变变徵
蕤宾午66变阳徵
林钟未71变阴徵
夷则申88变阳羽
南吕酉93变阴羽
无射戌1010变变宫
应钟亥115变阴宫
传统的做法取黄钟子四变至于姑洗辰，五音生毕；五变至于应钟亥，称作变宫；六变至于蕤宾午，称作变徵。这是五音不分阴阳的结果，此种五声或七声音阶有着不完备之处。而本文所述五音各分阴阳，二变介乎其间的定音法则并不属于传统做法。图示如下：
黄钟九变至于夹钟，五音各分阴阳。亥与子，自阴而阳之宫音；丑与寅，自阴而阳之商音；卯与辰，自阴而阳之角音；午与未，自阳而阴之徵音；申与酉，自阳而阴之羽音。而变宫居戌、变徵居巳，所以为变者，乃是变五音阴阳之顺序。故上图中央以赤色数字表示一步律序u，黑色隶书数字为地支顺序；外围以蓝色数字表示七步律序v。可以验证一步律序u与七步律序v之间的共轭变换关系：
v≡u×7 (mod 12)
u≡v×7 (mod 12)
三、河图映射
3.1 河图映射
所谓河图映射，指基于五音十数的连续相生之序。由于φ(12)和φ(10)皆等于4，而12和10有共同的互素因子7，故而十二律吕作为输出五音的模板，实则五音阴阳交替相生。故而有河图映射如下：
w≡v×7 (mod 10)
因为无论一步律序u还是七步律序v，其序数皆始于0，而传统则以一作为始计之数，故而河图映射的结果w亦始于0。所以一步律序u、七步律序v和河图映射数w取偶数时，皆当对应阳数。为此使用河图数A，
A≡w+5 (mod 10)
这样，所得之数就满足了阳奇阴偶。而七步律序v到河图数A的线性变换如下：
A≡v×7+5 (mod 10)
从附录对Euler函数的几何意义考虑看，线性变换就是一个角速与角位移的转动的变换。
3.2 黄钟均
五音各分阴阳，以至五音有十数。以黄钟均作例子，注意十二律吕作为输出五音的模板，与选用具体哪个律吕作为均法始音无关。黄钟均如下：
黄钟0变仍居黄钟子位，一步律序u=0，七步律序为v=0，而音在阳宫其数A为五；黄钟1变至于林钟未位，一步律序u=7，七步律序v=1，而音在阴徵其数A为二；黄钟2变至于太簇寅位，一步律序u=2，七步律序v=2，而音在阳商其数A为九；黄钟3变至于南吕酉位，一步律序u=9，七步律序v=3，而音在阴羽其数A为六；黄钟4变至于姑洗辰位，一步律序u=4，七步律序v=4，而音在阳角其数A为三；黄钟5变至于应钟亥位，一步律序u=11，七步律序v=5，而音在阴宫其数A为十；黄钟6变至于蕤宾午位，一步律序u=6，七步律序v=6，而音在阳徵其数A为七；黄钟7变至于大吕丑位，一步律序u=1，七步律序v=7，而音在阴商其数A为四；黄钟8变至于夷则申位，一步律序u=8，七步律序v=8，而音在阳羽其数A为一；黄钟9变至于夹钟卯位，一步律序u=3，七步律序v=9，而音在阴角其数A为八；黄钟10变至于无射戌位，一步律序u=10，七步律序v=10，而音在变宫其数A为五；黄钟11变至于仲吕巳位，一步律序u=5，七步律序v=11，而音在变徵其数A为二。注意：此二变之名系从映射结果上据数定音。
上图之中，外围以蓝色数字表示七步律序v，中央则以紫色数字表示河图映射数w，黑色隶书数字为河图数A。可以验证七步律序v与河图映射数w、河图数A之间的变换关系：
w≡v×7 (mod 10)
A≡v×7+5 (mod 10)
不难看出，五音阴阳交替，并且河图数A有着递增的顺序。而因为五音各分阴阳的缘故，致使河图数分离了。
3.3 简并映射图
使模数10分解为5×2，使用上下双层相叠的方式，可以使分离的十数和合为五组。而模10下的互素因子7，也因此对应为5+2。故而又作一图如下：
图中以蓝色数字表示七步律序v，七步律序同时也是五音各分阴阳的十数相生的七步音序。以紫色数字表示河图映射数w，而用隶书表示河图数A。注意青色线条是五音各分阴阳的相生路径，故枚举如下：
阳宫0变仍居阳宫五；阳宫1变至于阴徵二；阳宫2变至于阳商九；阳宫3变至于阴羽六；阳宫4变至于阳角三；阳宫5变至于阴宫十；阳宫6变至于阳徵七；阳宫7变至于阴商四；阳宫8变至于阳羽一；阳宫9变至于阴角八。
如此一来，阴阳和合，五音互为倚伏。注意此图，阴阳五音皆应当作同等大小处理，故而双层相叠而河图数自一至十绕行两圈。
《尚书·洪范》言五行道：一曰水，二曰火，三曰木，四曰金，五曰土。这个顺序，不知是箕子随意排布还是上有所承。而至迟至于战国“清华简《筮法》篇”已经记载五行与四个方位的对应了，这使得五行五音十数之间有着另一层面的对应。因此河图映射可以拓扑变形，不必只排成一个圆环的方式，只要映射关系不变即可。
附录：Euler函数φ(n)
自然数1~n中，与n互素之数的个数用Euler函数表示，记作φ(n)。由于1～n可以理解为模n的最小正剩余，φ(n)也刻画了模n剩余类的特征。
1、φ(n)的几何意义
下面给出φ(n)的一个几何解释。在平面圆周上，均匀分布着n个点。任两相邻点对圆心所张的圆心角α都相等，
α=(1/n)2π
在圆周上选取某点作为始点，以α的整数倍mα作为步长ω，
ω=mα=(m/n)2π
其中，m≤n。则n步之后，从始点到终点，绕行圆心的角度θ满足：
θ=nω=m2π
亦即n步绕行m圈，终点重合于始点。那么，这n步是否遍历圆周上的n个点呢？
处理这个问题的思路的切入点，是分析一般意义上的第k步的落脚点。因为k步之后，从始点到落脚点经过的角度θk满足：
θk=kω=(km/n)2π
显然，当k=n时，θn就退化为了θ。如果在k遍历1～n的情况下能满足θk两两不等，则n步就可遍历圆周上的n个点。在m>1的情况下，将使θk并不约束在一个2π之内。而遍历圆周上的n个点的意义，使得第k步的落脚点到起点之间的夹角与绕圆心的圈数关系不大，更侧重于在圆周上的位置。从而考虑同余式，
fm(k)≡k×m (mod n)
不难看出，角度[fm(k)/n]2π刻画了θk在圆周上的位置。从而上述问题转化为在k遍历1～n的情况下，为使fm(k)两两不相等，m需要满足与n互素的条件。因为若m与n有公因子d，有n=m×d，则k遍历1～d即已回到始点。其后继续遍历直至到n，所得fm(k)的不同取值也只有d个，这d个不同的fm(k)各重复了m次。而在m与n互素的情况下，k只有遍历1～n才可使得终点与始点重合，而fm(k)两两不相等。依据k遍历的顺序查看这n个点，实际就是顺序上作了一次重排。
故而使用Euler函数φ(n)统计与n互素的m的个数，也就反映了重排顺序的所有可能的个数。下面列出n取1～30所对应的φ(n)表。
Euler函数φ(n)的前30个取值n123456
00+010102020402
06+060406041004
12+120608
081606
18+1808
12
102208
24+
201218122808
…
………………
表中n由蓝色行标与绿色列标计算而得，与n对应的单元格中的数为φ(n)的值。显然n≥3时，φ(n)都是偶数。填充为黄色的单元格是n为素数p的情况，φ(p)=p-1，φ(p)一般比与p临近的非素数n对应的φ(n)大。这种列数为六的表格，对考察素数分布或孪生素数分布特别方便。
2、独立序列
在n≥3的前提下，选圆周上均匀分布的n个点中的某点作为始点，以固定步长ω=(m/n)2π绕行圆周。当m与n互素时，即可遍历全部n个点。而所有可能的遍历次序共有φ(n)个，φ(n)是个偶数。由于在m与n互素的前提下，n-m也与n互素。故而对步长ω=(m/n)2π而言，亦可将其视为反向步长ω'=[(n-m)/n]2π。这意味着，独立序列的数目要减半，只有φ(n)/2。
由于m取1时，与n没有1之外的公因子。所以在诸独立序列中，必有一个序列遍历所有的n点。即：
f1(k)≡k×1 (mod n)
这意味着，f1(k)可以取k。它以最小步长(1/n)2π为单位遍历全部n个点，可称作自然序列。为与其它步数的序列对比，也可称作一步序列。下面即用k表示f1(k)，它刻画了圆周上n个点的次序。始点作为第一个点，其位置由(0/n)2π刻画；其次，第二个点由(1/n)2π刻画；依次类推，第n个点由[(n-1)/n]2π刻画；由于终点与始点重合，不再重复选取新的变量刻画它。
对于给定的n≥3，如果还存在着其它的独立序列，比如m步序列：
fm(k)≡k×m (mod n)
此式可以诠释为，m步序列可以通过对一步序列的变换得到，从而可以建立一对共轭变换。而将m步序列变换为一步序列的逆变换为：
k≡fm(k)×m' (mod n)
其中m'是m对模n的逆元，满足下式：
m'×m≡1 (mod n)
根据Euler定理，
mφ(n)≡1 (mod n)
可有：
m'≡mφ(n)-1 (mod n)
通过共轭变换，可以将所有φ(n)个不同的次序，看作是对自然序列的变换所得。而不同的序列又可由自然序列作为桥梁而互相联系。
